Ta chứng minh bất đẳng thức a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+zvới a,b,c,x,y,z>0

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số ax;x,by;y,cz;z

ta có a2x+b2y+c2zx+y+z=ax2+by2+cz2x2+y2+z2

≥ax.x+by.y+cz.z2=a+b+c2

⇒a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+z      (*)

Dấu “=” xảy khi khi ax=by=cz

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có yz≤y+z2;zx≤z+x2;xy≤x+y2

⇒T≥x2x+y+z2+y2y+z+x2+z2z+x+y2

=2x22x+y+z+2y2x+2y+z+2z2x+y+2z

=2x22x+y+z+y2x+2y+z+z2x+y+2z

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

T≥2x+y+z24x+y+z=x+y+z2=20192

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 673

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=20192 khi x = y = z = 673