Ta có \(\widehat {OBC} = \widehat {CBO'}\) (vì BC là đường phân giác của \(\widehat {OBO'}).\) (1)

Do B, C thuộc đường tròn (O) nên OB = OC, suy ra ∆OBC cân tại O, do đó \(\widehat {OBC} = \widehat {OCB}.\) (2)

Do B, D thuộc đường tròn (O’) nên O’B = O’D, suy ra ∆O’BD cân tại O’, do đó \(\widehat {CBO'} = \widehat {O'DB}.\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \widehat {CBO'} = \widehat {O'DB}.\)

Mặt khác, \(\widehat {BOC} = 180^\circ - \widehat {OBC} - \widehat {OCB}\) và \(\widehat {BO'D} = 180^\circ - \widehat {O'BD} - \widehat {ODB}.\)

Do đó \(\widehat {BOC} = \widehat {BO\prime D}.\)