a) Do AB là đường kính của đường tròn (O), P thuộc đường tròn (O), suy ra \(\widehat {APB} = 90^\circ .\)

Do đó \[\widehat {PAB} + \widehat = 90^\circ \] (1)

Do tia AP cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại T nên AB ⊥ BT

Do đó \[\widehat + \widehat = 90^\circ \] (2)

Từ (1), (2) suy ra \(\widehat {ATB} = \widehat \)  

Mà \(\widehat = \frac{1}{2}\widehat {AOP}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AP) nên \(\widehat {ATB} = \frac{1}{2}\widehat {AOP}\) hay \(\widehat {AOP} = 2\widehat {ATB}.\)

b) Do A, P thuộc đường tròn (O) nên AO = OP, do đó ∆AOP cân tại O, suy ra \(\widehat {PAO} = \widehat {APO}.\)

Mà \(\widehat {PAO} = \widehat {PBT}\) (cùng phụ với \(\widehat ),\) suy ra \(\widehat {APO} = \widehat {\;PBT}.\)