Để giải bài toán hình thang ABCD, trước tiên, chúng ta cần xác định các thông tin đã cho và áp dụng các định lý phù hợp.

### 1) Cho AB = 9 cm và AD = 12 cm.

**a) Giải tam giác ADB:**

Chúng ta có tam giác vuông ADB (vì \(\angle A = 90^\circ\)), với:
- AB = 9 cm
- AD = 12 cm

Áp dụng định lý Pythagore để tính độ dài BD:
\[
BD^2 = AB^2 + AD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225
\]
\[
BD = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

**b) Tính độ dài các đoạn thẳng AO, DO và AC:**

Vì AC và BD vuông góc với nhau tại O, ta có hai tam giác vuông AOC và BOD.

Điểm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD và chia các đoạn BD thành hai đoạn AO và DO.

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác AOB:
\[
AO^2 + BO^2 = AB^2 \rightarrow AO^2 + BO^2 = 9^2
\]

Tuy nhiên, để tính được AO và DO, cần thêm thông tin về chiều cao hay tỷ lệ chia đoạn BD.

**c) Kẻ BH vuông góc với DC tại H. Tính diện tích tam giác DOH:**

Giả sử H là điểm trên DC, kẻ BH vuông góc với DC. Diện tích tam giác DOH được tính theo công thức:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times DO \times BH
\]

### 2) Chứng minh BH = AB.CD.

Vì BH vuông góc với DC và BH là chiều cao từ điểm B xuống cạnh DC, nên ta có thể áp dụng lý thuyết hình học để chứng minh.

Các thông số và chiều dài cụ thể của các đoạn đều cần thông tin hoặc số liệu thêm để hoàn thiện phần chứng minh và tính toán.

Nếu bạn cần tính cụ thể cho AO, DO, hoặc AC, cần có thêm dữ liệu về cạnh DC hoặc vị trí cụ thể của các điểm trong hình thang.