Để tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị của hàm số \( y = x + \frac{4}{x} \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

**Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số**

Đầu tiên, ta sẽ tính đạo hàm \( y' \) của hàm số:

\[
y = x + \frac{4}{x}
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm, ta có:

\[
y' = 1 - \frac{4}{x^2}
\]

**Bước 2: Tìm điểm cực trị**

Để tìm các điểm cực trị, ta cần giải phương trình \( y' = 0 \):

\[
1 - \frac{4}{x^2} = 0
\]

Giải phương trình này, ta có:

\[
\frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ hoặc } x = -2
\]

**Bước 3: Xét dấu của đạo hàm**

Chúng ta cần xét dấu của \( y' \) trên các khoảng xác định bởi các điểm cực trị. Các khoảng cần xét là:

1. \( (-\infty, -2) \)
2. \( (-2, 2) \)
3. \( (2, +\infty) \)

- Với \( x < -2 \) (ví dụ: \( x = -3 \)):
\[
y'(-3) = 1 - \frac{4}{9} = 1 - 0.44 > 0 \quad \text{(hàm đồng biến)}
\]

- Với \( -2 < x < 2 \) (ví dụ: \( x = 0 \)) nhưng chúng ta không tính tại x=0 vì hàm bị không xác định ở đây.

- Với \( 0 < x < 2 \) (ví dụ: \( x = 1 \)):
\[
y'(1) = 1 - 4 = -3 < 0 \quad \text{(hàm nghịch biến)}
\]

- Với \( x > 2 \) (ví dụ: \( x = 3 \)):
\[
y'(3) = 1 - \frac{4}{9} = 1 - 0.44 > 0 \quad \text{(hàm đồng biến)}
\]

**Bước 4: Kết luận về các khoảng đơn điệu và cực trị**

- Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, -2) \) và \( (2, +\infty) \).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-2, 0) \).
- Tại \( x = -2 \), hàm số đạt cực đại (vì trước đó hàm đồng biến và sau đó nghịch biến).
- Tại \( x = 2 \), hàm số đạt cực tiểu (vì trước đó hàm nghịch biến và sau đó đồng biến).

### Kết quả

- Các khoảng đơn điệu:
- Đồng biến: \( (-\infty, -2) \) và \( (2, +\infty) \)
- Nghịch biến: \( (-2, 2) \)

- Cực trị:
- Cực đại tại \( x = -2 \)
- Cực tiểu tại \( x = 2 \)