Cho A = 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^101, Tìm số dư của A khi chia cho 20

Để tìm số dư của tổng \( A = 1 + 4 + 4^2 + \ldots + 4^{101} \) khi chia cho 20, chúng ta có thể nhận thấy đây là một chuỗi hình học.

Tổng của chuỗi hình học có thể tính bằng công thức:

\[
A = \frac{a_1 (r^n - 1)}{r - 1}
\]

Trong đó \( a_1 \) là số hạng đầu tiên, \( r \) là công bội, và \( n \) là số hạng cuối cùng. Ở đây, \( a_1 = 1 \), \( r = 4 \), và số hạng cuối cùng là \( 4^{101} \), do đó tổng có 102 số hạng.

Áp dụng công thức, chúng ta có:

\[
A = \frac{1 \cdot (4^{102} - 1)}{4 - 1} = \frac{4^{102} - 1}{3}
\]

Tiếp theo, để tìm số dư của \( A \) khi chia cho 20, trước tiên chúng ta cần tính \( 4^{102} \mod 60 \) vì \( 20 \) và \( 3 \) không coprime.

**Bước 1: Tính \( 4^{102} \mod 60 \)**

Ta sử dụng định lý nhỏ Fermat cho từng số nguyên tố trong phân tích \( 60 = 4 \times 3 \times 5 \):

1. **Tính \( 4^{102} \mod 4 \)**:
\[
4^{102} \equiv 0 \mod 4
\]

2. **Tính \( 4^{102} \mod 3 \)**:
\[
4 \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow 4^{102} \equiv 1^{102} \equiv 1 \mod 3
\]

3. **Tính \( 4^{102} \mod 5 \)**:
Sử dụng Fermat: \( 4^{4} \equiv 1 \mod 5 \) nên \( 102 \mod 4 = 2 \):
\[
4^{102} \equiv 4^2 = 16 \equiv 1 \mod 5
\]

**Bước 2: Giải hệ phương trình theo quy tắc số dư**:

- Từ các kết quả trên, ta có:
\[
4^{102} \equiv 0 \mod 4
\]
\[
4^{102} \equiv 1 \mod 3
\]
\[
4^{102} \equiv 1 \mod 5
\]

Xét hệ phương trình:

- Từ \( 4^{102} \equiv 1 \mod 5 \) và \( 4^{102} \equiv 1 \mod 3 \), ta có \( 4^{102} \equiv 1 \mod 15 \).

Bây giờ, ta giải hệ giữa \( 0 \mod 4 \) và \( 1 \mod 15 \).

Giả sử \( x = 15k + 1 \):
\[
15k + 1 \equiv 0 \mod 4 \implies 15k \equiv -1 \equiv 3 \mod 4
\]
Vì \( 15 \equiv 3 \mod 4 \) nên
\[
3k \equiv 3 \mod 4 \implies k \equiv 1 \mod 4
\]
Giả sử \( k = 4m + 1 \):
\[
x = 15(4m + 1) + 1 = 60m + 16 \implies x \equiv 16 \mod 60
\]

**Bước 3: Tính \( \frac{4^{102} - 1}{3} \mod 20 \)**

Ta có:
\[
4^{102} \equiv 16 \mod 60 \implies 4^{102} - 1 \equiv 15 \mod 60
\]
Vậy:
\[
\frac{4^{102} - 1}{3} \equiv \frac{15}{3} = 5 \mod 20
\]

Do đó, số dư của \( A \) khi chia cho 20 là:

\[
\boxed{5}
\]