Để chứng minh rằng tứ giác \(BDEC\) là hình thang cân, ta sẽ chứng minh hai cạnh \(BE\) và \(DC\) song song.

1. **Chứng minh \(AD = AE\)**:

Theo giả đề, ta có \(AD = AE\). Do tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).

2. **Chứng minh góc \(ABD\) và góc \(ACE\)**:

Trong tam giác cân \(ABC\), ta có:
\[
AB = AC \Rightarrow \angle ABD = \angle ACD
\]
Đặt \(\angle ABD = \angle ACD = \alpha\).

3. **Tính góc \(ADE\)** và **góc \(AEC\)**:

Do \(AD = AE\), nên tam giác \(ADE\) là tam giác cân tại \(A\), do đó:
\[
\angle ADE = \angle AEB
\]
Tương tự, ta cũng có:
\[
\angle AEC = \angle ACD
\]

4. **Tính tổng các góc**:

Chúng ta có thể xem góc \(BDE\) và góc \(CDE\):
\[
\angle BDE = \angle ABD + \angle ADE = \alpha + \angle AEB
\]
\[
\angle CDE = \angle ACD + \angle AEC = \alpha + \angle AEB
\]

Vậy:
\[
\angle BDE = \angle CDE
\]

5. **Kết luận**:

Vì hai góc đối diện \(BDE\) và \(CDE\) bằng nhau (\(\angle BDE = \angle CDE\)), nên bốn cạnh \(BE\) và \(CD\) lại song song:
\[
BE \parallel CD
\]

Điều này chứng minh rằng tứ giác \(BDEC\) là hình thang cân.

Như vậy, \(BDEC\) là hình thang cân, với hai cạnh đáy \(BE\) và \(CD\) song song.