Để giải phương trình \((-4)^{3x + 1} = \frac{1}{16}\), trước tiên chúng ta có thể viết lại \(\frac{1}{16}\) dưới dạng luỹ thừa:

\[
\frac{1}{16} = 16^{-1} = (4^2)^{-1} = 4^{-2}
\]

Nhưng chúng ta cũng biết rằng \(4 = (-4)^{2}\), do đó:

\[
4^{-2} = \left((-4)^{2}\right)^{-2} = (-4)^{-4}
\]

Như vậy, ta có:

\[
\frac{1}{16} = (-4)^{-4}
\]

Bây giờ, ta có thể thay phương trình ban đầu như sau:

\[
(-4)^{3x + 1} = (-4)^{-4}
\]

Bởi cả hai bên đều có cùng cơ số (\(-4\)), ta có thể so sánh số mũ:

\[
3x + 1 = -4
\]

Giải phương trình này để tìm \(x\):

\[
3x = -4 - 1
\]

\[
3x = -5
\]

\[
x = -\frac{5}{3}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = -\frac{5}{3}
\]