Để chứng minh các phần trong bài toán, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

**Cho hình vuông ABCD:**
- Gọi các đỉnh của hình vuông ABCD lần lượt là: A (0, 0), B (a, 0), C (a, a), D (0, a).

**a) Chứng minh các tam giác ADF và BAE bằng nhau:**

- Ta có:
- Điểm E nằm trên cạnh AD, tức là \( E = (0, y_E) \) với \( 0 \leq y_E \leq a \).
- Điểm F nằm trên cạnh DC, tức là \( F = (x_F, a) \) với \( 0 \leq x_F \leq a \).

- Theo giả thiết, \( AE = DF \), nghĩa là:
- Đoạn AE = \( y_E \)
- Đoạn DF = \( a - x_F \)

Vì \( AE = DF \), ta có \( y_E = a - x_F \).

- Ta cần chứng minh rằng hai tam giác ADF và BAE bằng nhau, tức là:
- Các cạnh tương ứng của tam giác ADF và BAE bằng nhau.

- Các cạnh của tam giác ADF và BAE là:
- \( AD = a \) (cạnh chung)
- \( AE = y_E \)
- \( DF = a - x_F \)
- Vì \( y_E = a - x_F \) nên \( AE = DF \).

- Để kiểm tra các góc, ta thấy rằng:
- Tam giác ADF có một góc tại A, là góc ABC (90 độ)
- Tam giác BAE cũng có một góc tại B, là góc ABE (90 độ)

Do đó, hai tam giác ADF và BAE có:
- 2 cạnh đồng dạng (AD và AB),
- 1 cạnh tương ứng bằng nhau (AE = DF)
- 1 góc chung là 90 độ tại A

Do đó, theo định lý tam giác, ta có \( \triangle ADF \cong \triangle BAE \).

**b) Chứng minh BE vuông góc với AF:**

- Các điểm E và F lần lượt tạo thành các điểm trên cạnh AD và DC. Vì tứ giác ABCD là hình vuông và cạnh AD vuông góc với cả cạnh AB và AD, ta có:
- Gọi O là giao điểm của AE và DF.
- O có toạ độ \( (0, a - y_E) = (0, x_F) \), và F ở dưới F.

- Ta chỉ ra rằng góc BEF là góc vuông. Để làm điều này, ta sẽ xem xét độ dốc của các đoạn thẳng:
- Đoạn BE có độ dốc: \( m_{BE} = \frac{y_E - 0}{0 - a} \)
- Đoạn AF có độ dốc: \( m_{AF} = \frac{a - (a - y_E)}{x_F - 0} \)

- Để chứng minh BE vuông góc với AF, ta cần chứng minh độ dốc của BE và AF có hiệu số bằng -1.

Nếu \( m_{BE} \cdot m_{AF} = -1 \), thì BE vuông góc với AF.

**Kết luận:**

- Qua các phân tích trên, ta đã chứng minh được:
1) Các tam giác ADF và BAE bằng nhau,
2) BE vuông góc với AF.

Điều này hoàn tất cho bài toán yêu cầu.