Để xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \), chúng ta cần phân tích tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

1. **Tiệm cận đứng**: Để tìm các tiệm cận đứng, ta cần xem xét mẫu của phân thức \( x^2 + 1 \). Mẫu này không bao giờ bằng 0 (vì \( x^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x \)). Vì vậy, hàm số không có tiệm cận đứng.

2. **Tiệm cận ngang**: Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến tới vô cùng:
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1
\]
Tương tự, khi \( x \to -\infty \):
\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = 1
\]
Do đó, hàm số có một tiệm cận ngang tại \( y = 1 \).

Tổng kết lại, hàm số \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \) có:
- 0 tiệm cận đứng
- 1 tiệm cận ngang

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là **1**. Đáp án đúng là **A. 1**.