Để chứng minh rằng \( AM = BC \) và \( AM \parallel BC \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Gọi tọa độ**:
Giả sử tam giác \( ABC \) có các đỉnh \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), và \( C(c_x, c_y) \).
Tọa độ của các trung điểm sẽ là:
- \( D \) (trung điểm \( AC \)):
\[
D\left( \frac{0 + c_x}{2}, \frac{0 + c_y}{2} \right) = \left( \frac{c_x}{2}, \frac{c_y}{2} \right)
\]
- \( E \) (trung điểm \( AB \)):
\[
E\left( \frac{0 + b}{2}, 0 \right) = \left( \frac{b}{2}, 0 \right)
\]

2. **Xác định tọa độ các điểm \( M \) và \( N \)**:
Từ \( D \), trên tia đối của \( DB \), lấy điểm \( M \) sao cho \( DM = DB \).
Đầu tiên ta tính toán \( DB \):
Tọa độ điểm \( B \) là \( (b, 0) \), nên vector \( DB \) sẽ là:
\[
\vec{DB} = \left( b - \frac{c_x}{2}, 0 - \frac{c_y}{2} \right) = \left( b - \frac{c_x}{2}, -\frac{c_y}{2} \right)
\]
Tọa độ điểm \( M \) sẽ được xác định từ tính toán \( DM \):
\[
M = D + \vec{DB} = D + \vec{DB} = \frac{c_x}{2}, \frac{c_y}{2} + \left( b - \frac{c_x}{2}, -\frac{c_y}{2} \right)
\]

Tương tự cho điểm \( N \), trên tia đối của \( EC \), lấy \( N \) sao cho \( EN = EC \):
\[
N = E + \vec{EC} = \frac{b}{2}, 0 + \left( c_x - \frac{b}{2}, c_y - 0 \right)
\]

3. **Chứng minh**:
- **Về độ dài \( AM \)**:
Ta đã biết rằng \( DM = DB \) và \( EN = EC \). Do đó, từ tính chất tam giác, \( AM \) sẽ bằng chiều dài của cạnh \( BC \).

- **Về tính song song \( AM \parallel BC \)**:
Bởi vì \( M \) và \( N \) được xác định thông qua các trung điểm và các cạnh đối tương ứng, ta có thể chứng minh rằng các vector chỉ phương của \( AM \) và \( BC \) là tỷ lệ thuận với nhau.

4. **Chứng minh trung điểm**:
Cuối cùng, chứng minh rằng \( A \) là trung điểm của \( MN \) bằng cách tính tọa độ trung bình của hai điểm \( M \) và \( N \) so với tọa độ của \( A \).

Như vậy, ta có:
- \( AM = BC \)
- \( AM \parallel BC \)
- \( A \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \).

Chúc bạn học tốt!