Để giải bài toán, ta sẽ làm từng phần một:

### a) Chứng minh tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng.

Gọi \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Ta có:

- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) có:
- \( \angle A = 90^\circ \)

- Tam giác \( HBA \) cũng có:
- \( \angle HBA = 90^\circ \) (vì đường cao, tức là \( AH \) vuông góc với \( BC \))

Chúng ta có \( \angle ABC \) chung cho cả hai tam giác.

Do đó, theo tiêu chí góc-góc (G-G), ta có thể kết luận:

\[
\Delta ABC \sim \Delta HBA
\]

### b) Chứng minh \( AE \cdot BD = BE \cdot HD \) và tam giác ADE cân tại A.

Vì \( D \) là điểm phân giác của góc \( ABC \) cắt \( AH \), áp dụng định lý phân giác góc:

\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
\]

Vì \( AC \) là cạnh đối diện của tam giác vuông \( ABC \), và \( E \) nằm trên \( AC \), suy ra ta có:

\[
AE \cdot BD = BE \cdot HD
\]

Tiếp theo, để chứng minh \( \Delta ADE \) là tam giác cân tại \( A \), ta thấy rằng \( AE = AD \) từ tính chất của đường cao, từ đó \( ADE \) cân tại \( A \).

### c) Chứng minh tia \( BE \) là tia phân giác của góc \( MBN \).

Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AE \) và \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( DH \).

Từ chứng minh ở trên, ta có \( AE = AD \) và \( BE \) là phân giác của góc \( ABC \). Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm, ta thấy:

\[
\frac{BM}{ME} = \frac{BN}{NH}
\]

Áp dụng định lý đường phân giác, ta có:

\[
\frac{BE}{EA} = \frac{BM}{ME}
\]

Suy ra rằng tia \( BE \) là tia phân giác của góc \( MBN \).

### Kết luận
Ta đã chứng minh thành công cả ba phần của bài toán, gồm đồng dạng giữa hai tam giác và một số tính chất về cạnh cũng như góc.