Tìm tất cả các giá trị của tham số \( m \) để bất phương trình \( 2x - 5y + m \ge 0 \) nghiệm đúng với mọi cặp số \( (x; y) \) thỏa mãn hệ bất phương trình trên

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho:

1. **Hệ bất phương trình**:
\[
\begin{cases}
x + y \geq 5 \quad (1)\\
x - 2y \leq 2 \quad (2)\\
y \leq 3 \quad (3)
\end{cases}
\]

**Biểu diễn miền nghiệm**:

- Từ bất phương trình (1): \( y \ge 5 - x \) là đường thẳng có độ dốc -1, giao với trục hoành (x-axis) tại \( (5, 0) \) và trục tung (y-axis) tại \( (0, 5) \).

- Từ bất phương trình (2): \( x \le 2 + 2y \) là đường thẳng có độ dốc 2, giao với trục hoành tại \( (-2, 0) \) và trục tung tại \( (0, 1) \).

- Từ bất phương trình (3): \( y \le 3 \) là đường thẳng ngang cắt trục tung tại \( (0, 3) \).

2. **Tìm giao điểm của các đường thẳng**:
- Ta giải hệ phương trình của (1) và (2):
\[
\begin{cases}
x + y = 5 \quad (1)\\
x - 2y = 2 \quad (2)
\end{cases}
\]

Thay \( x = 5 - y \) vào (2):
\[
5 - y - 2y = 2 \implies 5 - 3y = 2 \implies 3y = 3 \implies y = 1 \implies x = 4
\]
=> Giao điểm \( (4, 1) \).

- Giao điểm của (1) và (3):
\[
\begin{cases}
x + y = 5 \quad (1)\\
y = 3 \quad (3)
\end{cases}
\]
=> \( x + 3 = 5 \implies x = 2 \) => Giao điểm \( (2, 3) \).

- Giao điểm của (2) và (3):
\[
\begin{cases}
x - 2y = 2 \quad (2)\\
y = 3 \quad (3)
\end{cases}
\]
=> \( x - 6 = 2 \implies x = 8 \) => Giao điểm \( (8, 3) \).

3. **Tóm lại miền nghiệm**:
- Các giao điểm là \( A(4, 1), B(2, 3), C(8, 3) \).
- Miền nghiệm là vùng nằm bên dưới đường \( x + y = 5 \), bên trái đường \( x - 2y = 2 \), và bên dưới \( y = 3 \).

4. **Xác định tham số \( m \)**:
- Bất phương trình \( 2x - 5y + m \ge 0 \) cần nghiệm đúng với mọi cặp \( (x, y) \) trong miền xác định.

Giả sử điểm extremum trên miền nghiệm là điểm \( (2, 3) \):
- Thay vào, ta có:
\[
2(2) - 5(3) + m \ge 0 \implies 4 - 15 + m \ge 0 \implies m \ge 11
\]

Và với điểm \( (4, 1) \):
\[
2(4) - 5(1) + m \ge 0 \implies 8 - 5 + m \ge 0 \implies m \ge -3
\]

Cuối cùng, từ tất cả các điểm, ta sẽ lấy giá trị lớn nhất. Do đó, \( m \) phải thỏa mãn:
\[
m \ge 11
\]

**Kết luận**:
Tất cả các giá trị của tham số \( m \) để bất phương trình \( 2x - 5y + m \ge 0 \) nghiệm đúng với mọi cặp số \( (x; y) \) thỏa mãn hệ bất phương trình trên là:
\[
m \ge 11
\]