Dưới đây là lời giải cho các bài toán đã cho:

### Bài 1: So sánh
a) \(2^6\) và \(8^2\):
\[
2^6 = 64 \quad \text{và} \quad 8^2 = 64 \implies 2^6 = 8^2
\]

b) \(4^3\) và \(3^4\):
\[
4^3 = 64 \quad \text{và} \quad 3^4 = 81 \implies 4^3 < 3^4
\]

c) \(2024^2\) và \(12024\):
\[
2024^2 = 4094976 \quad \text{và} \quad 12024 = 12024 \implies 2024^2 > 12024
\]

d) \(2023^{30} - 2023^{19}\) và \(2023^{19} - 2023^{18}\):
\[
2023^{19}(2023^{11} - 1) > 0 \quad \text{(do } 2023^{11} > 1\text{)}
\]

### Bài 2: Tìm \(x \in \mathbb{N}\)

a) \(x^2 - 2 = 123\):
\[
x^2 = 125 \implies x = 5
\]

b) \(91 - (64 - x) = 44\):
\[
x = 44 - 27 = 17
\]

c) \(x = 3^{15} * 3^{13}\):
\[
x = 3^{28}
\]

d) \(2^2 + (x - 3)^3 = 125\):
\[
(x - 3)^3 = 121 \implies x - 3 = 5 \implies x = 8
\]

e) \(x^2 + 2x + 3 = 144\):
\[
x^2 + 2x - 141 = 0
\]

### Bài 3*:

a) Chứng minh \(A\) chia hết cho 13:
\[
A = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^{2024}
\]
Thành phần này tạo thành một cấp số nhân, có thể sử dụng công thức tổng:
\[
A = \frac{3^{2025} - 1}{2}
\]
Chứng minh rằng \((3^{2025} - 1)\) chia hết cho 26.

b) Chứng minh \(A\) không chia hết cho 4:
\[
3^{2025} \equiv 3 \mod 4 \implies A \equiv \frac{3 - 1}{2} \equiv 1 \mod 4 \text{ (không chia hết cho 4)}
\]

c) Tìm số tự nhiên \(x\) biết \(2A + 1 = 3^x\):
\[
2A + 1 = 3^{2026} \implies 2 \cdot \frac{3^{2025}-1}{2} + 1 = 3^{2026}
\]

Hy vọng các bước giải này sẽ giúp bạn trong việc hoàn thành bài tập!