Để phân tích đa thức \( N = (x-3)^2 + (x-2)^2 \), trước tiên chúng ta sẽ mở rộng từng bình phương.

Ta có:

\[
(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9
\]
\[
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4
\]

Bây giờ, cộng hai kết quả lại với nhau:

\[
N = (x-3)^2 + (x-2)^2 = (x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4)
\]

Kết hợp các số hạng giống nhau:

\[
N = (x^2 + x^2) + (-6x - 4x) + (9 + 4)
\]
\[
N = 2x^2 - 10x + 13
\]

Để phân tích đa thức này thành nhân tử, chúng ta có thể sử dụng công thức hoàn thành bình phương hoặc tìm nghiệm của đa thức này. Đầu tiên, ta hãy cố gắng hoàn thành bình phương.

Công thức hoàn thành bình phương:

\[
ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c
\]

Trong trường hợp này:

\[
N = 2\left(x^2 - 5x\right) + 13
\]

Bây giờ, ta hoàn thành bình phương cho \( x^2 - 5x \):

\[
x^2 - 5x = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2
\]

Tính \( \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \), ta có:

\[
x^2 - 5x = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4}
\]

Thay vào biểu thức của \( N \):

\[
N = 2\left(\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4}\right) + 13
\]
\[
= 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{50}{4} + 13
\]
\[
= 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{50}{4} + \frac{52}{4}
\]
\[
= 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{2}{4}
\]
\[
= 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}
\]

Như vậy, \( N \) không phân tích thành nhân tử dễ dàng hơn nữa theo dạng của các hệ số nguyên.

Kết luận:

Đa thức \( N = 2x^2 - 10x + 13 \) không thể phân tích thành nhân tử theo cách giản đơn với các hệ số nguyên. Tuy nhiên, ta có thể viết dưới dạng hoàn thành bình phương như trên.