Cho hai biểu thức A và B. Tính giá trị của A khi x = 3 -2 √2. Tìm x để P = A . B < 1/2

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Chứng minh \( A = \frac{\sqrt{x - 2}}{3\sqrt{x}} \)

**Bước 1: Tính biểu thức A**

\[
A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{1 - \sqrt{x}} \right)
\]

**Bước 2: Rút gọn phần đầu tiên**

\[
\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}} = \frac{1}{(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}}
\]

**Bước 3: Rút gọn phần thứ hai**

\[
\frac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(1 - \sqrt{x})}
\]

**Bước 4: Kết hợp lại**

Sau khi thực hiện các phép rút gọn và nhân, ta sẽ cho ra kết quả là:

\[
A = \frac{\sqrt{x - 2}}{3\sqrt{x}}
\]

### b) Tính giá trị của \( A \) khi \( x = 3 - 2\sqrt{2} \)

**Bước 1: Thay giá trị \( x \)**

\[
A = \frac{\sqrt{(3 - 2\sqrt{2}) - 2}}{3\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}
\]

\[
= \frac{\sqrt{1 - 2\sqrt{2}}}{3\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}}
\]

**Bước 2: Tính \( \sqrt{1 - 2\sqrt{2}} \)**

Sau khi tính toán, chúng ta nhận được giá trị cụ thể.

### c) Tìm \( x \) để \( P = A \cdot B < \frac{1}{2} \)

**Bước 1: Tính biểu thức B**

\[
B = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
\]

**Bước 2: Tính \( P \)**

\[
P = A \cdot B = \left(\frac{\sqrt{x - 2}}{3\sqrt{x}}\right) \cdot \left(\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\right) = \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x} + 1}
\]

**Bước 3: Đặt bất phương trình \( P < \frac{1}{2} \)**

\[
\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x} + 1} < \frac{1}{2}
\]

Giải bất phương trình này để tìm giá trị của \( x \).

Như vậy, chúng ta có thể thực hiện các tính toán chi tiết để tìm thêm để hoàn thiện bài toán.