Để biểu thức \( A = \frac{x + 2}{x - 2} \) là một số nguyên, ta có thể bắt đầu bằng cách viết lại \( A \):

\[
A = \frac{x + 2}{x - 2} = 1 + \frac{4}{x - 2}
\]

Từ đó, ta có:

\[
A - 1 = \frac{4}{x - 2}
\]

Để \( A \) là một số nguyên, \( \frac{4}{x - 2} \) cũng cần phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x - 2 \) phải là một ước số của 4.

Các ước số của 4 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \). Từ đó, ta có thể tính các giá trị của \( x \):

1. Nếu \( x - 2 = 1 \) thì \( x = 3 \).
2. Nếu \( x - 2 = -1 \) thì \( x = 1 \).
3. Nếu \( x - 2 = 2 \) thì \( x = 4 \).
4. Nếu \( x - 2 = -2 \) thì \( x = 0 \).
5. Nếu \( x - 2 = 4 \) thì \( x = 6 \).
6. Nếu \( x - 2 = -4 \) thì \( x = -2 \).

Tóm lại, các giá trị của \( x \) để \( A \) là nguyên là:

\[
x = 3, 1, 4, 0, 6, -2
\]