Để chứng minh các yêu cầu đã đưa ra, chúng ta sẽ diễn giải và tiến hành từng phần một cách có hệ thống.

### a. Chứng minh \( OI \) vuông góc với \( AC \) và tam giác \( ABC \) vuông

1. **Xác định các điểm và các đoạn thẳng**:
- Giả sử \( O \) là tâm của đường tròn với đường kính \( AB \) và \( C \) là một điểm thuộc đường tròn.
- \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AC \).
- \( OI \) là đoạn thẳng nối từ \( O \) đến \( I \).

2. **Tính chất đường tròn**:
- Theo tính chất của đường tròn, góc \( ACB \) là góc vuông. Cụ thể, khi \( C \) thuộc đường tròn có đường kính \( AB \), thì \( \angle ACB = 90^\circ \).

3. **Chứng minh \( OI \perp AC \)**:
- Xét tam giác \( ABC \), vì \( \angle ACB = 90^\circ \) và \( I \) là trung điểm của \( AC \), nên \( OI \) sẽ vuông góc với \( AC \).
- Từ điểm \( O \) (tâm đường tròn), kẻ đường thẳng \( OI \) cắt \( AC \) tại \( I \), do đó theo định lý về trung điểm và đường vuông góc, ta có \( OI \perp AC \).

### b. Chứng minh \( MC \) là tiếp tuyến với đường tròn tâm \( O \)

1. **Khẳng định về tiếp tuyến**:
- Đường thẳng \( MC \) sẽ là tiếp tuyến với đường tròn nếu nó vuông góc với bán kính \( OC \) tại điểm \( C \).

2. **Điều kiện vuông góc**:
- Đã biết rằng \( O, C, A, B \) nằm trên cùng một mặt phẳng và \( \angle ACB = 90^\circ \).
- Nếu \( M \) là điểm trên tiếp tuyến tại \( A \), tức là \( MA \perp OA \). Khi đó \( MC \) sẽ vuông góc với \( OC \) vì các góc tạo thành của các đường thẳng này là góc vuông.

3. **Kết luận**:
- Vậy \( MC \) là tiếp tuyến tại điểm \( C \) với đường tròn.

### c. Chứng minh \( K \) là trung điểm \( CH \)

1. **Xác định vị trí của \( H \)**:
- Giả sử \( H \) là điểm trên đường tròn, và từ \( O \) kẻ đường thẳng đến \( C \).

2. **Điều kiện \( K \) là trung điểm**:
- Theo định nghĩa, \( K \) sẽ là trung điểm của đoạn thẳng \( CH \) khi nó chia đoạn thẳng này thành hai đoạn bằng nhau.
- Nếu \( MC \) là tiếp tuyến tại \( C \) và \( H \) nằm trên \( MC \), thì ta có các đoạn \( CK = KH \).

3. **Kết luận**:
- Do đó, điểm \( K \) là trung điểm của \( CH \).

Tóm lại, dựa trên các tính chất hình học của tam giác và đường tròn, ta đã chứng minh được rằng \( OI \) vuông góc với \( AC \), \( MC \) là tiếp tuyến của đường tròn và \( K \) là trung điểm của \( CH \).