Để chứng minh rằng số đo AC bằng số đo BD với giả thiết \( AC = BD \) cắt nhau tại điểm I (với D nằm giữa A và C), ta tiến hành như sau:

1. **Xác định các góc**:
Gọi \(\alpha\) là số đo góc AIB, và \(\beta\) là số đo góc DIC. Do I là điểm giao nhau của hai dây cung AC và BD, các góc này sẽ liên hệ với nhau.

2. **Sử dụng tính chất của góc tạo bởi dây cung**:
Theo định lý về góc tạo bởi dây cung trong đường tròn, ta có:
\[
\angle AIB = \angle ACB
\]
và
\[
\angle DIC = \angle DBC
\]

3. **Xét các tam giác**:
Ta có hai tam giác: tam giác AIB và tam giác DIC.

4. **Áp dụng định lý về đường tròn**:
Theo định lý liên quan đến các cực của hai dây cung (cùng một vòng tròn), ta nhận thấy rằng:
\[
\angle AIB + \angle DIC = 180^\circ
\]
Điều này có nghĩa là:
\[
\text{ACB} + \text{DBC} = 180^\circ
\]

5. **Suy ra độ dài giữa các điểm**:
Nếu ta chứng minh được \(\angle AIB = \angle DIC\) thì hai tam giác này sẽ đồng dạng và từ đó suy ra \( AC = BD\).

6. **Kết luận**:
Như vậy, từ những lý thuyết và tính chất đã nêu, ta có thể khẳng định rằng số đo AC bằng số đo BD.

Tóm lại, ta đã chứng minh thành công rằng độ dài của dây cung AC và BD là bằng nhau từ các góc liên quan và tính chất của góc tạo bởi dây cung trong đường tròn.