Để giải phương trình:

\[
\frac{1}{5} \cdot 2^x + \frac{1}{3} \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{5} \cdot 2^7 + \frac{1}{3} \cdot 2^8
\]

Trước hết, ta biến đổi bên trái:

\[
\frac{1}{3} \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2^x = \frac{2}{3} \cdot 2^x
\]

Giả sử phương trình trở thành:

\[
\frac{1}{5} \cdot 2^x + \frac{2}{3} \cdot 2^x = \frac{1}{5} \cdot 2^7 + \frac{1}{3} \cdot 2^8
\]

Gộp các hạng tử bên trái:

\[
\left( \frac{1}{5} + \frac{2}{3} \right) 2^x = \frac{1}{5} \cdot 2^7 + \frac{1}{3} \cdot 2^8
\]

Chuyển đổi các phân số:

\[
\frac{1}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3}{15} + \frac{10}{15} = \frac{13}{15}
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{13}{15} \cdot 2^x = \frac{1}{5} \cdot 2^7 + \frac{1}{3} \cdot 2^8
\]

Tính toán bên phải:

\[
\frac{1}{5} \cdot 2^7 = \frac{2^7}{5}, \quad \frac{1}{3} \cdot 2^8 = \frac{2^8}{3}
\]

Sử dụng cùng mẫu số cho bên phải:

\[
\frac{2^7}{5} + \frac{2^8}{3} = \frac{6 \cdot 2^7 + 5 \cdot 2^8}{15} = \frac{6 \cdot 2^7 + 5 \cdot 2 \cdot 2^7}{15} = \frac{(6 + 10) 2^7}{15} = \frac{16 \cdot 2^7}{15}
\]

Phương trình trở thành:

\[
\frac{13}{15} \cdot 2^x = \frac{16 \cdot 2^7}{15}
\]

Nhân cả hai vế với 15:

\[
13 \cdot 2^x = 16 \cdot 2^7
\]

Chia cả hai vế cho 13:

\[
2^x = \frac{16 \cdot 2^7}{13}
\]

Bây giờ, ta phân tích \(16\) dưới dạng lũy thừa cơ số \(2\):

\[
16 = 2^4 \quad \Rightarrow \quad 2^x = \frac{2^4 \cdot 2^7}{13} = \frac{2^{11}}{13}
\]

Lấy logarit cơ số 2:

\[
x = 11 - \log_2(13)
\]

Vậy giá trị của \(x\) là:

\[
x \approx 11 - 3.7 \approx 7.3
\]

Do đó:

\[
x \approx 7.3
\]