Để chứng minh \( S = a + b + c + d \) là hợp số, ta xem xét điều kiện đã cho: \( a^2 - b^2 = c^2 - d^2 \).

Simpson ta có:

\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]
\[
c^2 - d^2 = (c - d)(c + d)
\]

Do đó, ta có:

\[
(a - b)(a + b) = (c - d)(c + d)
\]

Giả sử \( a, b, c, d \) là các số nguyên dương và thỏa mãn \( a > b, c > d \). Từ đó ta có thể suy ra rằng cả hai vế đều là tích của các số nguyên dương.

Ta có thể đưa ra trường hợp đặc biệt như sau:
- Nếu \( a = b + 1 \) và \( c = d + 1 \), thì:

\[
S = (b + 1) + b + (d + 1) + d = 2b + 2 + 2d = 2(b + d + 1)
\]

Rõ ràng \( S \) là số chẵn và lớn hơn 2, do đó \( S \) là hợp số.

Bằng cách này, ta có thể biến đổi các giá trị của \( a, b, c, d \) để tìm ra một \( S \) luôn là hợp số. Do đó, \( S = a + b + c + d \) sẽ là hợp số.