Để chứng minh rằng \( 2a = 3b + c \) chia hết cho 7 khi \( a, b, c \) chia hết cho 7, trước tiên, ta sẽ ghi nhận rằng:

- Nếu \( a \equiv 0 \mod 7 \), thì \( a = 7k \) với \( k \) là số nguyên.
- Nếu \( b \equiv 0 \mod 7 \), thì \( b = 7m \) với \( m \) là số nguyên.
- Nếu \( c \equiv 0 \mod 7 \), thì \( c = 7n \) với \( n \) là số nguyên.

Dựa vào 3 đẳng thức trên, ta có:

\[
2a = 2(7k) = 14k
\]

\[
3b = 3(7m) = 21m
\]

\[
c = 7n
\]

Bây giờ, ta sẽ thay vào biểu thức \( 3b + c \):

\[
3b + c = 21m + 7n
\]

Ta có thể viết lại như sau:

\[
3b + c = 7(3m + n)
\]

Rõ ràng từ biểu thức trên, \( 3b + c \) cũng chia hết cho 7.

Bây giờ, ta so sánh hai biểu thức:

- \( 2a = 14k \) chia hết cho 7.
- \( 3b + c = 7(3m + n) \) cũng chia hết cho 7.

Do đó:

\[
2a \equiv 0 \mod 7 \quad \text{và} \quad 3b + c \equiv 0 \mod 7
\]

Vậy ta có:

\[
2a \equiv 3b + c \mod 7
\]

Từ đó suy ra \( 2a - (3b + c) \equiv 0 \mod 7 \), tức là \( 2a = 3b + c \) chia hết cho 7.

Chúng ta đã chứng minh rằng \( 2a \equiv 3b + c \mod 7 \), nghĩa là \( 2a = 3b + c \) chia hết cho 7 như yêu cầu.

Tóm lại, ta có thể kết luận là \( 2a = 3b + c \) chia hết cho 7 khi \( a, b, c \) chia hết cho 7.