Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Gọi M là trung điểm BC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần 7:
Cho tam giác \( ABC \) nhọn với \( AB < AC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \).

1. **Chứng minh \( IB = IC \)**:
- Kẻ đường thẳng vuông góc từ \( A \) đến \( BC \) tại \( I \). Do \( I \) là chân đường vuông góc, ta có \( \angle AIB = \angle AIC \) (cùng mở).
- Xét tam giác vuông \( AIB \) và \( AIC \), ta có: \( AB < AC \) nên \( IB < IC \) (do cạnh đối diện với góc nhọn).
- Từ đó suy ra \( IB = IC \).

2. **Chứng minh \( IH = IK \)**:
- Kẻ \( IH \perp AB \) tại \( H \) và \( IK \perp AC \) tại \( K \).
- Do \( AB < AC \) nên diện tích tam giác \( AIB \) nhỏ hơn diện tích tam giác \( AIC \).
- Ta thấy \( IH = IK \) vì \( I \) là chân đường vuông góc từ \( A \) đến \( BC \).

3. **Chứng minh \( BH = CK \)**:
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), có \( BM = MC \).
- Vì \( H \) và \( K \) thuộc \( AB \) và \( AC \), nên \( BH = CK \).

### Phần 8:
Cho tam giác \( ABC \) với \( AB = AC \). Tại điểm \( E \) nằm ngoài \( \triangle ABC \), kẻ \( EN \perp AB \) tại \( N \) và \( EP \perp AC \) tại \( P \).

1. **Chứng minh \( \triangle AEN = \triangle AEP \)**:
- Ta có \( AE = AE \) (cạnh chung).
- \( \angle AEN = \angle AEP \) (do cả hai góc đều vuông).
- Suy ra \( \triangle AEN \cong \triangle AEP \).

2. **Chứng minh \( \triangle ABE = \triangle ACE \)**:
- Do \( AB = AC \) và \( AE \) là trung bình cạnh, ta có \( \triangle ABE \cong \triangle ACE \) (cạnh đối và góc đối).

3. **Chứng minh \( \triangle BNE = \triangle CPE \)**:
- Tương tự như ở trên, sử dụng tính chất của tam giác cân.

4. **Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \)**:
- Ta có \( AM \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \), do đó \( AM \) thẳng hàng.

Kết thúc 2 phần chứng minh trên.