Để chứng minh rằng \( M \) và \( N \) đối xứng với nhau qua điểm \( O \), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm**: Giả sử tọa độ của hình bình hành \( ABCD \) như sau:
- \( A(a, b) \)
- \( B(-a, b) \)
- \( C(-a, -b) \)
- \( D(a, -b) \)
- Tâm \( O(0, 0) \)

2. **Điểm E và F**: Khi chọn điểm \( E \) trên đoạn \( BO \) và điểm \( F \) trên đoạn \( DO \) sao cho \( BE = DF \), ta có thể đặt \( E \) và \( F \) lần lượt là:
- \( E(-a + x, b - y) \)
- \( F(a - x, -b + y) \)
Với \( x \) và \( y \) là các đoạn thẳng từ \( B \) và \( D \) đến \( O \).

3. **Tính giao điểm M và N**:
- **Đường thẳng \( AE \)**: Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(a, b) \) và điểm \( E(-a + x, b - y) \).
- **Đường thẳng \( CF \)**: Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( C(-a, -b) \) và điểm \( F(a - x, -b + y) \).
- Tìm giao điểm của \( AE \) và \( BC \) là điểm \( M \).
- Tìm giao điểm của \( CF \) và \( AD \) là điểm \( N \).

4. **Chứng minh đối xứng**:
- Từ tọa độ của \( M \) và \( N \), chứng minh rằng \( O \) là trung điểm của đoạn \( MN \). Điều này có nghĩa là các tọa độ của \( M \) và \( N \) thỏa mãn điều kiện đối xứng qua \( O \).

Ví dụ, nếu \( M(x_m, y_m) \) và \( N(x_n, y_n) \), ta có thể chứng minh:
\[
x_m + x_n = 0 \quad \text{và} \quad y_m + y_n = 0
\]
Nếu điều này đúng, thì \( M \) và \( N \) đối xứng nhau qua \( O \).

### Kết luận:
Với các bước như trên, ta sẽ chứng minh được rằng \( M \) và \( N \) là hai điểm đối xứng qua điểm \( O \) khi \( BE = DF \).