Để tìm \( x \) sao cho biểu thức \( 3^x + 1 - 8 \cdot 3^x = -405 \) có nghĩa, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Rút gọn biểu thức**:
\[
3^x + 1 - 8 \cdot 3^x = -405
\]
Có thể kết hợp các hạng tử \( 3^x \) lại với nhau:
\[
(1 - 8)3^x + 1 = -405
\]
Tức là:
\[
-7 \cdot 3^x + 1 = -405
\]

2. **Chuyển vế**:
Chuyển 1 sang bên phải:
\[
-7 \cdot 3^x = -405 - 1
\]
\[
-7 \cdot 3^x = -406
\]

3. **Chia cho -7**:
\[
3^x = \frac{406}{7}
\]
\[
3^x = 58
\]

4. **Giải phương trình**:
Để tìm \( x \), ta sẽ sử dụng logarithm:
\[
x = \log_3(58)
\]

Biểu thức \( 3^x + 1 - 8 \cdot 3^x = -405 \) có nghĩa với \( 3^x \) là số dương, và vì \( 3^x \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \), phương trình này có nghĩa. Ta tìm được \( x = \log_3(58) \).

Tóm lại, \( x \) là:
\[
x = \log_3(58)
\]