Để thực hiện phép tính:

\[
\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} \right) \left( \frac{5 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + 1} \right)
\]

ta sẽ tiến hành từng bước:

### Bước 1: Rút gọn mẫu thứ hai

Mẫu của phần thứ hai là \(1 + \sqrt{5} + 1 = 2 + \sqrt{5}\).

### Bước 2: Viết lại biểu thức

Biểu thức trở thành:

\[
\frac{1 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} \cdot \frac{5 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}
\]

### Bước 3: Nhân hai phân số

Phân số có thể nhân lại như sau:

\[
\frac{(1 + \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})}{(1 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})}
\]

### Bước 4: Tính tử và mẫu

**Tử:**

\[
(1 + \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) = 1 \cdot 5 + 1 \cdot \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 + \sqrt{5} + 5\sqrt{5} + 5 = 10 + 6\sqrt{5}
\]

**Mẫu:**

\[
(1 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5}) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 2 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 5 = -3 - \sqrt{5}
\]

### Bước 5: Viết lại biểu thức

Chúng ta có:

\[
\frac{10 + 6\sqrt{5}}{-3 - \sqrt{5}}
\]

### Bước 6: Rút gọn

Rút gọn có thể thực hiện bằng cách nhân cả tử và mẫu với \(-1\):

\[
\frac{-10 - 6\sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}
\]

### Kết quả cuối cùng

Chúng ta có:

\[
\frac{-10 - 6\sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}
\]

Bước tiếp theo để rút gọn hơn nữa (nếu cần) là tìm kiếm các phương thức để chia cho \(3 + \sqrt{5}\) để biểu diễn dưới dạng đơn giản hơn.

Dù vậy, đến đây đã có kết quả cụ thể cho phép tính trên.