Để tính giá trị của biểu thức

\[
\left( \frac{5 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} \right) \left( \frac{5 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + 1} \right),
\]

chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

1. **Tính phần thứ nhất**:

\[
\frac{5 - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}}.
\]

Để đơn giản hóa, chúng ta nhân cả tử và mẫu với \(1 + \sqrt{5}\):

\[
\frac{(5 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})}{(1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})} = \frac{(5 - \sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 5)}{1 - 5} = \frac{4\sqrt{5} - \sqrt{5}}{-4} = \frac{3\sqrt{5}}{-4} = -\frac{3\sqrt{5}}{4}.
\]

2. **Tính phần thứ hai**:

\[
\frac{5 + \sqrt{5}}{1 + \sqrt{5} + 1} = \frac{5 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}.
\]

Nhân cả tử và mẫu với \(2 - \sqrt{5}\):

\[
\frac{(5 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} = \frac{10 - 5 + 2\sqrt{5} - \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{5 + \sqrt{5}}{-1} = -5 - \sqrt{5}.
\]

3. **Kết hợp kết quả**:

Giờ ta nhân kết quả của hai phần đã tính được:

\[
\left( -\frac{3\sqrt{5}}{4} \right) \left( -5 - \sqrt{5} \right) = \frac{3\sqrt{5}}{4} (5 + \sqrt{5}).
\]

Phát triển biểu thức này:

\[
= \frac{3\sqrt{5} \cdot 5}{4} + \frac{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{4} = \frac{15\sqrt{5}}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4} = \frac{15\sqrt{5}}{4} + \frac{15}{4} = \frac{15 + 15\sqrt{5}}{4} = \frac{15(1 + \sqrt{5})}{4}.
\]

Vậy giá trị của biểu thức ban đầu là:

\[
\frac{15(1 + \sqrt{5})}{4}.
\]