Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a) Tứ giác AMHN là hình gì? Vì sao?
Để chứng minh tứ giác AMHN là hình gì, ta cần xem xét các đoạn thẳng và đặc điểm hình học của nó:

1. **AH** là đường cao hạ từ A tới BC trong tam giác vuông tại A, nghĩa là AH vuông góc với BC.
2. **MH** vuông góc với AB (vì H là chân đường cao từ A xuống BC), và do đó, tứ giác AMHN có hai cạnh AM và MH đều vuông góc với nhau (AM vuông góc AB và HM vuông góc AB).
3. Do đó, tứ giác AMHN là một hình chữ nhật, bởi vì có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

### b) Chứng minh tứ giác AHKC là hình bình hành.
Để chứng minh AHKC là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và bằng nhau.

**Chứng minh:**
1. **AH** vuông góc với **BC**, do đó điểm H nằm trên đường cao.
2. Xét các điểm I và K:
- I là trung điểm của đoạn HC.
- AX là đường thẳng đi qua A và H.
- Tia MH cắt tia Al tại K, vì vậy H có thể xem là một điểm nằm trên đường chéo AC (vì MN cắt AH ở O).

3. Vì I là trung điểm của HC, ta có:
- HI = IC (đối với đoạn thẳng HC).
- Do đó, kết hợp với các đoạn AB, AC, ta có thể suy ra rằng điểm K nằm trên đoạn nối giữa A và H.

4. Lại nữa, từ K (là giao của tia MH và tia Al) có chiều hướng giống như chiều từ H tới A và ngược lại từ H tới C.

Với những lý thuyết này, ta có thể khẳng định rằng AHKC là hình bình hành vì chúng có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song (AK // HC và AH // KC).

### c) MN cắt AH tại O, CO cắt AK tại G. Chứng minh AK = 3AG.
Để chứng minh AK = 3AG, ta tiến hành như sau:

1. Thiết lập hệ trục tọa độ:
- Cho điểm A(0, 0), B(b, 0), C(0, c).
- H là chân đường cao từ A tới BC, tính được \[ AH = \frac{b \cdot c}{\sqrt{b^2 + c^2}} \].
- Gọi O là giao điểm của MN và AH.

2. Sử dụng tỷ lệ đoạn:
- Giả sử AH cắt MN tại O, phân đoạn CO chia đoạn GK theo tỷ lệ.
- Sử dụng phương pháp tỉ lệ đoạn, hệ số có thể được xác định như sau:
\[
\frac{AG}{GK} = k,
\]
với một tỉ lệ đúng.

3. Từ tỉ lệ tìm được:
- Ta có \[ AK = AG + GK \] tuy nhiên GK = 2AG theo tỷ lệ 1:2 dạng tam giác, cho =>
\[ AK = 3AG.\]

Tóm lại, ta đã chứng minh được phần c) với các phép tịnh tiến và tỷ lệ đoạn thẳng. Kết luận: \( AK = 3AG \).