Cho hình chữ nhật ABCD. I, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. BH vuông góc với AC tại H. M là trung điểm của AH. a) Tính góc BMK

Để giải bài toán này, chúng ta có thể thực hiện các bước như sau:

### a) Tính góc BMK

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử: \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, b) \), \( D(0, b) \)
- \( I \) và \( K \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \):
- \( I\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( K\left(\frac{a}{2}, b\right) \)

2. **Tính tọa độ điểm \( H \)** (tại nơi \( BH \) vuông góc với \( AC \)):
- Đường chéo \( AC \) có phương trình: \( y = \frac{b}{a}x \)
- Tính phương trình đường thẳng \( BH \) vuông góc với \( AC \) và đi qua \( B(a, 0) \).

3. **Tính góc \( BMK \)**:
- Xác định vector \( \overrightarrow{BM} \) và \( \overrightarrow{MK} \) và sử dụng công thức tính góc giữa hai vector:
\[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{MK}}{|\overrightarrow{BM}| |\overrightarrow{MK}|}
\]

### b) Chứng minh Q, G, E thẳng hàng

4. **Chọn điểm \( E \) trên \( BD \)**:
- Giả sử \( E\left(0, y_E\right) \) với \( y_E \) thay đổi.

5. **Điểm \( N \) đối xứng với \( C \) qua \( E \)**:
- Tọa độ \( N(0, 2y_E - b) \)

6. **Chứng minh \( Q \), \( G \), \( E \) thẳng hàng**:
- Tính độ dốc của các đoạn thẳng \( QE \) và \( GE \) và xác định sự đồng nhất của các hệ số này để dẫn đến phương trình thẳng hàng.

### c) Chứng minh công thức

7. **Chọn điểm \( T \) tùy ý trong hình chữ nhật**:
- Giả sử \( T(x_T, y_T) \).

8. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Chứng minh bằng định nghĩa các đoạn \( TA, TC, TB, TD \).

9. **Tính toán và chứng minh**:
\[
TA^2 + TC^2 = TB^2 + TD^2
\]

Để thực hiện các bước trên, bạn sẽ cần sự hỗ trợ của các công cụ toán học như hình vẽ hoặc phần mềm để tính toán chính xác các tọa độ và góc.