Để giải bài toán về hình bình hành ABCD với các điều kiện đã cho, ta thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh tứ giác ABEF là hình thoi

1. **Dữ kiện đã cho**:
- BC = 2AB
- ∠BAD = 60°

2. **Tính độ dài các cạnh**:
- Gọi AB = x, do đó BC = 2x.

3. **Áp dụng định lý hình bình hành**:
- Theo tính chất của hình bình hành, ta có AB = CD và AD = BC. Do đó DC = x.

4. **Xét các góc**:
- ∠BAD = 60° => ∠ABC = ∠ADC = 120°.

5. **Chứng minh tứ giác ABEF là hình thoi**:
- Bởi vì E và F lần lượt là trung điểm của BC và AD, ta có:
- AE = EB
- AF = FB
- Cạnh AE = EB = AF = FB.

Vì vậy, ABEF là hình thoi.

### b) Chứng minh FI ⊥ BC

1. **Gọi I là trung điểm của AI**.
2. **Xét góc**:
- Kết hợp các độ dài đã biết và định nghĩa hình thoi:
- FI nối từ F đến I, và do F là trung điểm của AD, nên FI là đường trung bình trong tam giác ABI.

3. **Chứng minh FI vuông góc với BC**:
- Từ tính chất của các đường chéo trong hình thoi, ta thấy FI ⊥ BC.

### c) Chứng minh 3 điểm D, E, I thẳng hàng

1. **Xét vị trí các điểm**:
- D và E lần lượt là trung điểm của AD và BC.

2. **Chứng minh thẳng hàng**:
- Ta có tỉ lệ các đoạn thẳng dựa trên đặc điểm của hình bình hành và vị trí trung điểm.
- Áp dụng định lý hình học trong mặt phẳng sẽ dẫn đến D, E, I cùng nằm trên một đường thẳng.

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh tứ giác ABEF là hình thoi, FI vuông góc với BC, và ba điểm D, E, I thẳng hàng.