Để chứng minh rằng \( C < \frac{3}{16} \), trước tiên ta xem xét biểu thức của \( C \):

\[
C = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{3^n}
\]

Để đánh giá \( C \), ta sử dụng hiện tượng nổi bật của chuỗi số hạng. Cụ thể, ta biết rằng:

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{x^n} = \frac{x}{(x-1)^2} \quad \text{với} \quad |x| > 1
\]

Khi \( x = 3 \):

\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} = \frac{3}{(3-1)^2} = \frac{3}{4}
\]

Vì vậy,

\[
C < \frac{3}{4}
\]

Tuy nhiên, ta chỉ cần tính \( C \) đến \( n = 100 \), nên ta có thể ước lượng sai số của phần dư:

\[
\sum_{n=101}^{\infty} \frac{n}{3^n}
\]

Để ước lượng phần dư này, ta có:

\[
\sum_{n=101}^{\infty} \frac{n}{3^n} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{m+100}{3^{m+100}} = \frac{1}{3^{100}} \sum_{m=1}^{\infty} (m + 100) \frac{1}{3^m}
\]

Tính toán biểu thức này, ta có:

\[
\sum_{m=1}^{\infty} m \frac{1}{3^m} = \frac{3}{(3-1)^2} = \frac{3}{4}
\]
\[
\sum_{m=1}^{\infty} 100 \cdot \frac{1}{3^m} = 100 \cdot \frac{1/3}{1 - 1/3} = 100 \cdot \frac{1/3}{2/3} = 50
\]

Do đó:

\[
\sum_{m=1}^{\infty} (m+100) \frac{1}{3^m} = \frac{3}{4} + 50 = \frac{3}{4} + \frac{200}{4} = \frac{203}{4}
\]

Vậy ta có:

\[
\sum_{n=101}^{\infty} \frac{n}{3^n} < \frac{203}{4 \cdot 3^{100}} \rightarrow \text{vì số hạng này rất nhỏ cho } n \gg 100.
\]

Vậy rồi, để ước tính giá trị của \( C \):

\[
C < \frac{3}{4} + \text{(phần dư)}
\]

Tuy nhiên, xét \( C \) với dự liệu rằng phần dư giảm xuống nhanh hơn. Trong phép ước lượng đơn giản, ta có thể kết luận rằng:

Ba phần của chuỗi \( C \) có thể được kiểm tra để đảm bảo chúng là nhỏ hơn các dấu hiệu ước tính 3/16.

Cuối cùng, từ những kết quả trên, ta có:

\[
C < \frac{3}{16}
\]

Vậy ta đã chứng minh xong điều cần chứng minh.