Cho x, y là các số nguyên thảo mẫn \( x^3 + y^4 + x^2 + y^3 - 1 \) chia hết cho \( xy + x + y + 1 \). Chứng minh rằng \( x^4 + y^4 \) chia hết cho \( y + 1 \)

Để chứng minh rằng \(x^4 + y^4\) chia hết cho \(y + 1\) khi mà \(x^3 + y^4 + x^2 + y^3 - 1\) chia hết cho \(xy + x + y + 1\), ta có thể làm như sau:

Gọi \(P(x, y) = x^3 + y^4 + x^2 + y^3 - 1\) và \(Q(x, y) = xy + x + y + 1\).

Theo giả thiết, \(P(x, y) \equiv 0 \mod Q(x, y)\).

Chúng ta sẽ xem xét giá trị của \(x^4 + y^4\) khi \(y = -1\):

1. Khi \(y = -1\), ta có:
\[
Q(x, -1) = x(-1) + x + (-1) + 1 = 0
\]
Điều này có nghĩa là \(Q(x, -1) = 0\), vì vậy ta có thể thay \(y = -1\) vào hàm \(P(x, y)\).

2. Thay \(y = -1\) vào \(P(x, y)\):
\[
P(x, -1) = x^3 + (-1)^4 + x^2 + (-1)^3 - 1 = x^3 + 1 + x^2 - 1 - 1 = x^3 + x^2 - 1
\]

3. Ta cần kiểm tra xem \(P(x, -1) \equiv 0 \mod Q(x, -1)\):
\[
P(x, -1) = x^3 + x^2 - 1
\]
Và vì \(Q(x, -1) = 0\), điều này nghĩa là \(P(x, -1) \equiv 0\).

4. Từ đó, ta có \(x^3 + x^2 - 1 \equiv 0\), hay:
\[
x^3 + x^2 \equiv 1
\]

5. Chúng ta sẽ tính \(x^4 + (-1)^4\):
\[
x^4 + y^4 = x^4 + 1
\]
để kiểm tra xem \(x^4 + 1\) có chia hết cho \(y + 1 = 0\) hay không. Khi \(y = -1\), ta mệnh đề:
\[
x^4 + 1 \equiv 0 \mod 0
\]

Vậy ta có thể kết luận rằng \(x^4 + y^4\) chia hết cho \(y + 1\).

Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng \(x^4 + y^4\) chia hết cho \(y + 1\) khi mà \(x^3 + y^4 + x^2 + y^3 - 1\) chia hết cho \(xy + x + y + 1\).