LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Chứng minh rằng: \( 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \ldots + 2^{99} + 2^{100} \) chia hết cho 31

----- Nội dung ảnh -----
Bài 95. Chứng minh rằng: \( 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \ldots + 2^{99} + 2^{100} \) chia hết cho 31.
1 trả lời
Hỏi chi tiết
22
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh rằng tổng \( S = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{100} \) chia hết cho 31, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

Tổng \( S \) có thể được viết lại như sau:

\[
S = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{100} = 2(1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{99}).
\]

Ta có thể sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:

\[
1 + r + r^2 + \cdots + r^n = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1},
\]

với \( r = 2 \) và \( n = 99 \):

\[
1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{99} = \frac{2^{100} - 1}{2 - 1} = 2^{100} - 1.
\]

Thay vào biểu thức cho \( S \):

\[
S = 2(2^{100} - 1) = 2^{101} - 2.
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng \( S \) chia hết cho 31, tức là kiểm tra \( 2^{101} - 2 \equiv 0 \mod 31 \).

Ta sẽ sử dụng Định lý Fermat: với một số nguyên tố \( p \), \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \) với mọi số nguyên \( a \) không chia hết cho \( p \).

Với \( p = 31 \), ta có:

\[
2^{30} \equiv 1 \mod 31.
\]

Để tìm \( 2^{101} \mod 31 \), trước tiên tìm \( 101 \mod 30 \):

\[
101 = 30 \times 3 + 11 \quad \Rightarrow \quad 101 \mod 30 = 11.
\]

Vậy:

\[
2^{101} \equiv 2^{11} \mod 31.
\]

Tiếp theo, chúng ta tính \( 2^{11} \mod 31 \):

\[
2^1 = 2,
\]
\[
2^2 = 4,
\]
\[
2^3 = 8,
\]
\[
2^4 = 16,
\]
\[
2^5 = 32 \equiv 1 \mod 31,
\]
\[
2^6 = 2 \cdot 2^5 \equiv 2 \cdot 1 = 2 \mod 31,
\]
\[
2^7 = 4 \mod 31,
\]
\[
2^8 = 8 \mod 31,
\]
\[
2^9 = 16 \mod 31,
\]
\[
2^{10} = 32 \equiv 1 \mod 31,
\]
\[
2^{11} \equiv 2 \mod 31.
\]

Vậy:

\[
2^{101} \equiv 2 \mod 31,
\]

và do đó,

\[
S = 2^{101} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 31.
\]

Như vậy, \( S \) chia hết cho 31.

Kết luận:
\[
2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{100} \text{ chia hết cho } 31.
\]
2
0
Chou
24/10 20:00:20
+5đ tặng

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập Toán học Lớp 7 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 7 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư