Để tìm số tự nhiên \( x \) lớn nhất thỏa mãn điều kiện \( 13 \) và \( 61 \) chia \( x \) dư \( 1 \), ta có thể viết lại điều kiện này dưới dạng phương trình đồng dư như sau:

\[
13 \equiv 1 \mod x
\]
\[
61 \equiv 1 \mod x
\]

Từ điều kiện trên, ta có thể suy ra:

\[
12 \equiv 0 \mod x
\]
\[
60 \equiv 0 \mod x
\]

Điều này có nghĩa là \( x \) phải là ước chung của \( 12 \) và \( 60 \).

Bây giờ, ta tìm ước số chung lớn nhất (USCLN) của \( 12 \) và \( 60 \):

- Phân tích số nguyên thành nhân tố:
- \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
- \( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)

USCLN là tích của các yếu tố chung với số mũ nhỏ nhất:
- Ở đây, \( 2^2 \) là yếu tố chung, và \( 3^1 \) cũng là yếu tố chung.

Do đó, \( \text{USCLN}(12, 60) = 2^2 \times 3^1 = 12 \).

Tiếp theo, tất cả các ước của \( 12 \) là các số tự nhiên có thể là \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \).

Để tìm số tự nhiên \( x \) lớn nhất thỏa mãn điều kiện này, ta chọn \( x = 12 \).

Vậy, số tự nhiên \( x \) lớn nhất thỏa mãn cả hai điều kiện trên là:

\[
\boxed{12}
\]