Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( (x-2)(x+1)-3 \), trước tiên chúng ta sẽ đơn giản hóa biểu thức này.

Ta có:

\[
(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2 - 2 = x^2 - x - 2
\]

Khi đó, biểu thức trở thành:

\[
(x-2)(x+1) - 3 = x^2 - x - 2 - 3 = x^2 - x - 5
\]

Đến đây, chúng ta cần tìm GTNN của biểu thức \( x^2 - x - 5 \). Hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) sẽ có GTNN tại đỉnh của nó, với tọa độ x của đỉnh:

\[
x = -\frac{b}{2a}
\]

Ở đây, \( a = 1 \) và \( b = -1 \), cho nên:

\[
x = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}
\]

Chúng ta sẽ thay giá trị \( x = \frac{1}{2} \) vào biểu thức:

\[
x^2 - x - 5 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 5
\]

Tính từng phần:

\[
\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]

\[
-\frac{1}{2} = -\frac{2}{4}
\]

Vậy:

\[
x^2 - x - 5 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - 5 = -\frac{1}{4} - 5 = -\frac{1}{4} - \frac{20}{4} = -\frac{21}{4}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( (x-2)(x+1)-3 \) là:

\[
-\frac{21}{4}
\]