Để chứng minh rằng tổng \( S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8 + 3^9 + 3^{10} + 3^{11} \) chia hết cho 5, ta có thể sử dụng tính chất của chu kỳ trong phép lũy thừa của số \( 3 \) modulo \( 5 \).

**Bước 1: Tính \( 3^n \mod 5 \)**

Ta sẽ tính giá trị của \( 3^n \) modulo \( 5 \) cho các giá trị \( n \) từ \( 0 \) đến \( 4 \):

- \( 3^0 \mod 5 = 1 \)
- \( 3^1 \mod 5 = 3 \)
- \( 3^2 \mod 5 = 4 \)
- \( 3^3 \mod 5 = 2 \)
- \( 3^4 \mod 5 = 1 \)

Nhận thấy rằng \( 3^n \mod 5 \) sẽ lặp lại theo chu kỳ 4, cụ thể là:
- \( n \equiv 0 \mod 4 \) thì \( 3^n \equiv 1 \mod 5 \)
- \( n \equiv 1 \mod 4 \) thì \( 3^n \equiv 3 \mod 5 \)
- \( n \equiv 2 \mod 4 \) thì \( 3^n \equiv 4 \mod 5 \)
- \( n \equiv 3 \mod 4 \) thì \( 3^n \equiv 2 \mod 5 \)

**Bước 2: Tính tổng \( S \mod 5 \)**

Ta có \( S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8 + 3^9 + 3^{10} + 3^{11} \). Để tính giá trị của \( S \mod 5 \), ta sẽ tính giá trị của từng phần tử \( 3^n \) trong các nhóm \( n \mod 4 \):

- \( 3^0 \equiv 1 \)
- \( 3^1 \equiv 3 \)
- \( 3^2 \equiv 4 \)
- \( 3^3 \equiv 2 \)
- \( 3^4 \equiv 1 \)
- \( 3^5 \equiv 3 \)
- \( 3^6 \equiv 4 \)
- \( 3^7 \equiv 2 \)
- \( 3^8 \equiv 1 \)
- \( 3^9 \equiv 3 \)
- \( 3^{10} \equiv 4 \)
- \( 3^{11} \equiv 2 \)

**Phân tích tổng \( S \mod 5 \)**:
\[
S \equiv 1 + 3 + 4 + 2 + 1 + 3 + 4 + 2 + 1 + 3 + 4 + 2 \mod 5
\]

**Nhóm theo chu kỳ 4**:
\[
= (1 + 3 + 4 + 2) + (1 + 3 + 4 + 2) + (1 + 3 + 4 + 2)
\]
Mỗi nhóm \( 1 + 3 + 4 + 2 = 10 \equiv 0 \mod 5 \).

**Bước 3: Kết luận**

Số chu kỳ \( 3 \) có \( 3 \) nhóm trong \( S \):
- Tổng của \( S \mod 5 \equiv 0 \).

Vậy \( S \)chia hết cho \( 5 \). Do đó, ta chứng minh được rằng \( S \equiv 0 \mod 5 \). \( \Box \)