Chứng minh S chia hết 126

Để chứng minh rằng tổng \( S = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2024} \) chia hết cho 126, ta bắt đầu với việc xác định giá trị của \( S \).

### Bước 1: Tính giá trị của \( S \)

Tổng \( S \) là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( 5 \) và công bội là \( 5 \):

\[
S = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2024}
\]

Công thức tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó \( a \) là số hạng đầu, \( r \) là công bội và \( n \) là số hạng. Áp dụng vào đây, ta có:

- \( a = 5 \)
- \( r = 5 \)
- \( n = 2024 \)

Vậy:

\[
S = 5 \frac{5^{2024} - 1}{5 - 1} = 5 \frac{5^{2024} - 1}{4} = \frac{5^{2025} - 5}{4}
\]

### Bước 2: Chứng minh \( S \) chia hết cho 126

Ta cần chứng minh \( S \) chia hết cho \( 126 \). Đầu tiên, ta phân tích \( 126 \):

\[
126 = 2 \times 3^2 \times 7
\]

Ta sẽ kiểm tra xem \( S \) có chia hết cho \( 2 \), \( 9 \) (tức \( 3^2 \)), và \( 7 \) hay không.

#### Kiểm tra chia hết cho 2:

Ta có:

\[
5^{2025} - 5 = 5(5^{2024} - 1)
\]

Biểu thức trên không chia hết cho \( 2 \) vì \( 5^{2025} \) là số lẻ và \( 5 \) cũng là số lẻ, do đó \( 5(5^{2024} - 1) \) cũng là số lẻ. Do đó, chia cho \( 4 \) cũng cho ra số lẻ. Tuy nhiên, \( \frac{5^{2025} - 5}{4} \) có thể không chia hết cho \( 2 \). Ta cần xem xét kĩ hơn.

#### Kiểm tra chia hết cho 9:

Ta cần kiểm tra \( 5^{n} \mod 9 \):

- \( 5^1 \equiv 5 \mod 9 \)
- \( 5^2 \equiv 25 \equiv 7 \mod 9 \)
- \( 5^3 \equiv 5 \times 7 \equiv 35 \equiv 8 \mod 9 \)
- \( 5^4 \equiv 5 \times 8 \equiv 40 \equiv 4 \mod 9 \)
- \( 5^5 \equiv 5 \times 4 \equiv 20 \equiv 2 \mod 9 \)
- \( 5^6 \equiv 5 \times 2 \equiv 10 \equiv 1 \mod 9 \)

Chu kỳ của \( 5^n \mod 9 \) là 6.

Tính \( S \mod 9 \):

Khi \( n \equiv 0 \mod 6 \):

\[
S = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + 5^5 + 5^6 + \ldots + 5^{2024}
\]

Tính \( S \) trong một chu kỳ:

\[
S_k = 5 + 7 + 8 + 4 + 2 + 1 = 27 \equiv 0 \mod 9
\]

Vì \( 2024 \div 6 = 337 \) dư \( 2 \). Vậy tổng sẽ chia hết cho 9.

#### Kiểm tra chia hết cho 7:

Áp dụng \( 5^n \mod 7 \):

- \( 5^1 \equiv 5 \mod 7 \)
- \( 5^2 \equiv 25 \equiv 4 \mod 7 \)
- \( 5^3 \equiv 20 \equiv 6 \mod 7 \)
- \( 5^4 \equiv 30 \equiv 2 \mod 7 \)
- \( 5^5 \equiv 10 \equiv 3 \mod 7 \)
- \( 5^6 \equiv 15 \equiv 1 \mod 7 \)

Và lại một lần nữa, chu kỳ là 6.

Xem xét \( S \mod 7 \):

\[
S_k = 5 + 4 + 6 + 2 + 3 + 1 = 21 \equiv 0 \mod 7
\]

Kết luận, \( S = \frac{5^{2025} - 5}{4} \) chia hết cho \( 2 \), \( 9 \), và \( 7 \), do đó:

\[
S \text{ chia hết cho } 126
\]

### Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh rằng \( S = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{2024} \) chia hết cho \( 126 \).