Để rút gọn biểu thức sau:

\[
(2x - 1)^2 - (x + 1)^2 + (x - 1) \cdot (x + 1) - 1
\]

trước tiên, ta sẽ tính từng phần của biểu thức:

1. **Tính \((2x - 1)^2\)**:
\[
(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1
\]

2. **Tính \((x + 1)^2\)**:
\[
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
\]

3. **Tính \((x - 1) \cdot (x + 1)\)**:
\[
(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1
\]

4. **Thay vào biểu thức**:
\[
4x^2 - 4x + 1 - (x^2 + 2x + 1) + (x^2 - 1) - 1
\]

5. **Mở ngoặc và nhóm lại**:
\[
= 4x^2 - 4x + 1 - x^2 - 2x - 1 + x^2 - 1 - 1
\]

6. **Đơn giản hóa**:
- Các hạng tử bậc 2:
\[
4x^2 - x^2 + x^2 = 4x^2
\]
- Các hạng tử bậc 1:
\[
-4x - 2x = -6x
\]
- Các hạng tử hằng số:
\[
1 - 1 - 1 - 1 = -2
\]

Kết quả là:
\[
4x^2 - 6x - 2
\]

Cuối cùng, ta có thể đưa biểu thức về dạng gọn hơn:
\[
2(2x^2 - 3x - 1)
\]

Vậy biểu thức đã rút gọn là:
\[
2(2x^2 - 3x - 1)
\]