Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có n^3 - n chia hết cho 6

chứng minh rằng với mọi số tự nhiên  ta có n^3-n chia hết cho 6
1 trả lời
Hỏi chi tiết
49
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh rằng \( n^3 - n \) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên \( n \), chúng ta sẽ chia ra hai phần:

1. Chứng minh rằng \( n^3 - n \) chia hết cho 2.
2. Chứng minh rằng \( n^3 - n \) chia hết cho 3.

### Bước 1: Chứng minh chia hết cho 2

Ta có:

\[
n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)
\]

Biểu thức \( n(n-1)(n+1) \) là tích của ba số liên tiếp. Trong ba số liên tiếp này, chắc chắn sẽ có một số chẵn. Do đó, \( n^3 - n \) chia hết cho 2.

### Bước 2: Chứng minh chia hết cho 3

Xét ba trường hợp dựa vào giá trị của \( n \) theo modulo 3:

- **Trường hợp 1:** \( n \equiv 0 \mod 3 \)
Khi đó, \( n^3 - n = n(n^2 - 1) \equiv 0 \mod 3 \).

- **Trường hợp 2:** \( n \equiv 1 \mod 3 \)
Khi đó,
\[
n^3 - n \equiv 1^3 - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3.
\]

- **Trường hợp 3:** \( n \equiv 2 \mod 3 \)
Khi đó,
\[
n^3 - n \equiv 2^3 - 2 \equiv 8 - 2 \equiv 6 \equiv 0 \mod 3.
\]

Trong cả ba trường hợp, chúng ta thấy rằng \( n^3 - n \equiv 0 \mod 3 \).

### Kết luận

Vì \( n^3 - n \) chia hết cho 2 và chia hết cho 3, nên theo định nghĩa về số chia hết, ta có:

\[
n^3 - n \text{ chia hết cho } 6.
\]

Vậy nên, ta đã chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), \( n^3 - n \) chia hết cho 6.
0
1
Đào Văn Phát
30/10 21:15:02
+5đ tặng
Ta có :n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)
Ta thấy rằng : n,(n-1),(n-2) là 3 số tự nhiên liên tiếp 
 =>n(n-1)(n+1) chia hết cho 3  (1)
Và trong số đó có ít nhất 1 số chẵn
=>n(n-1)(n+1) chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra n(n-1)(n+1) chia hết cho 2.3 =6 
hay n^3-n chia hết cho 6
=>ĐPCM 

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Trắc nghiệm Toán học Lớp 8 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư