Để chứng tỏ rằng biểu thức \( 32^{17} - 2^{82} + 16^{21} \) chia hết cho 22, ta sẽ xét từng phần của biểu thức modulo 2 và 11, rồi áp dụng định lý Trung bình.

### Bước 1: Xét biểu thức modulo 2

- \( 32 \equiv 0 \mod 2 \) nên \( 32^{17} \equiv 0 \mod 2 \)
- \( 2^{82} \equiv 0 \mod 2 \)
- \( 16 \equiv 0 \mod 2 \) nên \( 16^{21} \equiv 0 \mod 2 \)

Từ đó, ta có:
\[
32^{17} - 2^{82} + 16^{21} \equiv 0 - 0 + 0 \equiv 0 \mod 2
\]

### Bước 2: Xét biểu thức modulo 11

- Tính \( 32^{17} \mod 11 \):
\[
32 \equiv 10 \mod 11
\]
cần tính \( 10^{17} \mod 11 \):
\[
10 \equiv -1 \mod 11 \Rightarrow 10^{17} \equiv (-1)^{17} \equiv -1 \equiv 10 \mod 11
\]

- Tính \( 2^{82} \mod 11 \):
Sử dụng định lý Fermat, vì \( 2^{10} \equiv 1 \mod 11 \):
\[
82 \mod 10 = 2 \Rightarrow 2^{82} \equiv 2^2 \equiv 4 \mod 11
\]

- Tính \( 16^{21} \mod 11 \):
\[
16 \equiv 5 \mod 11
\]
cần tính \( 5^{21} \mod 11 \):
Sử dụng định lý Fermat, vì \( 5^{10} \equiv 1 \mod 11 \):
\[
21 \mod 10 = 1 \Rightarrow 5^{21} \equiv 5^{1} \equiv 5 \mod 11
\]

Giờ chúng ta có:
\[
32^{17} - 2^{82} + 16^{21} \equiv 10 - 4 + 5 \mod 11
\]
Tính tiếp:
\[
10 - 4 + 5 = 11 \equiv 0 \mod 11
\]

### Kết luận

Từ hai kết quả trên, ta có:
\[
32^{17} - 2^{82} + 16^{21} \equiv 0 \mod 2
\]
\[
32^{17} - 2^{82} + 16^{21} \equiv 0 \mod 11
\]

Vì 2 và 11 là coprime (không có ước chung lớn hơn 1), theo định lý Trung bình, ta có:
\[
32^{17} - 2^{82} + 16^{21} \equiv 0 \mod 22
\]

Do đó, biểu thức \( 32^{17} - 2^{82} + 16^{21} \) chia hết cho 22.