Chứng minh trong n số tự nhiên liên tiếp luôn tìm được 1 số chia hết cho n

Để chứng minh rằng trong \( n \) số tự nhiên liên tiếp, luôn có ít nhất một số chia hết cho \( n \), ta sẽ sử dụng lý thuyết số.

Giả sử ta có \( n \) số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số \( k \). Vậy \( n \) số này có dạng:

\[
k, k+1, k+2, \ldots, k+n-1
\]

Ta cần chứng minh rằng ít nhất một trong số các số này chia hết cho \( n \).

Xét các số này modulo \( n \). Khi chia mỗi số trong \( k, k+1, k+2, \ldots, k+n-1 \) cho \( n \), giá trị dư của chúng sẽ có thể là:

\[
k \mod n, (k+1) \mod n, (k+2) \mod n, \ldots, (k+n-1) \mod n
\]

Vì \( n \) số này được lấy từ \( n \) số liên tiếp, chúng ta có \( n \) giá trị khác nhau và giá trị dư có thể là \( 0, 1, 2, \ldots, n-1 \). Tuy nhiên, vì có \( n \) số và chỉ có \( n \) giá trị dư khác nhau, theo nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chia chỗ), ít nhất một giá trị dư trong số này phải trùng với giá trị \( 0 \).

Nếu ít nhất một số trong số đó \( \equiv 0 \mod n \), điều này có nghĩa là ít nhất một trong những số \( k, k+1, k+2, \ldots, k+n-1 \) chia hết cho \( n \).

Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng trong \( n \) số tự nhiên liên tiếp luôn có ít nhất một số chia hết cho \( n \).