Để chứng minh các phần yêu cầu của bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện theo từng phần.

### Phần a: Chứng minh tam giác ABM và tam giác ACM bằng nhau.

Trong tam giác \( \Delta ABC \), ta có \( AB = AC \) (giả thiết). Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \), suy ra \( BM = MC \).

Ta sẽ chứng minh rằng:

- \( ABM \cong ACM \) (tam giác ABM bằng tam giác ACM).

**Chứng minh**:

- Ta có:
- \( AB = AC \) (theo giả thiết).
- \( BM = MC \) (vì M là trung điểm).
- \( AM = AM \) (đoạn chung).

Áp dụng tiêu chuẩn của tam giác bằng nhau (SSS), ta có:

\[
ABM \cong ACM
\]

### Phần b: Chứng minh AM là phân giác của góc BAC và AM ⊥ BC.

Để chứng minh AM là phân giác của góc BAC, ta cần chứng minh rằng tỉ lệ các cạnh đối diện là bằng nhau.

Khi \( ABM \cong ACM \), từ đó ta có:

\[
\angle ABM = \angle ACM
\]

Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên hai tam giác có chiều dài đoạn thẳng bằng nhau:

\[
\frac{AB}{AC} = 1
\]

Và vì hai góc này đều bằng nhau, suy ra AM là phân giác của góc BAC.

Vì \( M \) nằm trên đoạn thẳng BC và AM phân giác của góc BAC, ta có:

\[
AM \perp BC
\]

### Phần c: Lấy D là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AM. Chứng minh DB = DC.

Vì AM là phân giác của góc BAC và \( AB = AC \), ta có:

\[
\frac{DB}{DC} = 1
\]

Điều này dẫn đến \( DB = DC \).

### Phần d: Lấy điểm H ∈ AB; K ∈ AC sao cho BH = CK. Chứng minh MH = MK.

Vì tam giác ABM và ACM đồng dạng (hoặc bằng nhau), ta có các đoạn thẳng DB = DC.

Giả sử trên các đoạn thẳng AB và AC, ta lấy hai điểm H và K sao cho \( BH = CK \).

Ta có:

1. \( MH \) là đoạn thẳng nối từ M đến H.
2. \( MK \) là đoạn thẳng nối từ M đến K.

Vì \( BH = CK \), từ tính chất của tam giác bằng nhau (ABM và ACM) ta có rằng:

\[
MH = MK
\]

Đến đây, ta đã chứng minh được tất cả các phần yêu cầu của đề bài.