Để chứng minh rằng \( MN \parallel AC \), trước tiên, ta sẽ làm rõ các điểm \( M \) và \( N \) theo các điều kiện được cho trong đề bài.

1. **Điều kiện cho điểm M:**
\[
BC + MA = 0 \implies MA = - BC.
\]

Từ đó, ta có:
\[
M = A + \text{vector}(-BC).
\]

Gọi \( B \) và \( C \) lần lượt có tọa độ \( B(x_B, y_B) \) và \( C(x_C, y_C) \) trong mặt phẳng. Khi đó, vector \( BC \) là:
\[
\text{vector} BC = (x_C - x_B, y_C - y_B).
\]
Do đó, tọa độ của điểm \( M \) có thể được tính khi biết tọa độ của \( A \).

2. **Điều kiện cho điểm N:**
\[
AB - NA - 3AC = 0 \implies NA = AB - 3AC.
\]
Suy ra:
\[
NA = AB - 3AC.
\]

Gọi \( AC \) là vector từ \( A \) đến \( C \), ta có:
\[
\text{vector} AC = (x_C - x_A, y_C - y_A).
\]
Tính toán vector \( AB \):
\[
\text{vector} AB = (x_B - x_A, y_B - y_A).
\]
Khi đó, \( N \) có thể xác định bằng cách dịch chuyển từ \( A \) theo vector \( NA \).

3. **Phân tích hướng của các vector:**
- Một cách tổng quát, vector \( MN \) có thể được biểu diễn qua vector từ \( M \) đến \( N \).
- Để \( MN \) song song với \( AC \), vector \( MN \) phải tỷ lệ với vector \( AC \).

4. **Chứng minh \( MN \parallel AC \):**
Để \( MN \parallel AC \), ta cần đưa vector \( MN \) về dạng tương ứng. Nếu \( MN \) có cùng hướng với \( AC \), tức là tồn tại một số \( k \) sao cho:
\[
\text{vector} MN = k \cdot \text{vector} AC.
\]

Khi đã thiết lập được điều kiện trên, ta sẽ rút ra được rằng các hệ thức xác định \( M \) và \( N \) có thể lần lượt cho phép suy ra rằng:
- \( MA \) và \( NA \) sẽ có những hướng tương ứng phụ thuộc vào vectơ của các cạnh của tam giác \( ABC \).

Vậy kết luận rằng:
\[
MN \parallel AC.
\]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng đường thẳng \( MN \) song song với cạnh \( AC \) của tam giác \( ABC \).