Cho tứ giác ABCD có \( AB = BC = 2\sqrt{5}, CD = 5\sqrt{2}, BD = 5\sqrt{2}, AD = 3\sqrt{10}, AC = 10 \). Tìm cốt góc giữa hai vectơ \( \overline{AC} \) và \( \overline{DB} \)

Để tìm cốt góc giữa hai vectơ \(\overline{AC}\) và \(\overline{DB}\) trong tứ giác \(ABCD\), trước tiên, chúng ta cần tìm tọa độ các đỉnh của tứ giác.

### Bước 1: Đặt tọa độ cho các đỉnh

Chúng ta có thể đặt:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(2\sqrt{5}, 0)\)
- \(C(2\sqrt{5}, h)\) với \(h\) là độ cao của \(C\)
- \(D(x, y)\)

### Bước 2: Tính toán độ cao \(h\) của \(C\)

Vì \(AB = BC = 2\sqrt{5}\), nên sử dụng định lý Pythagore:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies (h)^2 + (0)^2 = (2\sqrt{5})^2 \implies h^2 = 20 \implies h = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

### Bước 3: Điểm \(D\)

Sử dụng các cạnh:
- \(AD = 3\sqrt{10}\)
- \(BD = 5\sqrt{2}\)
- \(CD = 5\sqrt{2}\)

Chúng ta có thể biểu diễn khoảng cách \(AD\) và \(BD\) bằng tọa độ của \(D(x, y)\):

1. \(\sqrt{x^2 + y^2} = 3\sqrt{10}\) (công thức tính khoảng cách từ \(A\) đến \(D\))
2. \(\sqrt{(x - 2\sqrt{5})^2 + y^2} = 5\sqrt{2}\) (công thức tính khoảng cách từ \(B\) đến \(D\))
3. \(\sqrt{(x - 2\sqrt{5})^2 + (y - 2\sqrt{5})^2} = 5\sqrt{2}\) (công thức tính khoảng cách từ \(C\) đến \(D\))

### Bước 4: Giải các phương trình trên

Từ (1):

\[
x^2 + y^2 = 90 \tag{1}
\]

Từ (2):

\[
(x - 2\sqrt{5})^2 + y^2 = 50
\]

Giải phương trình cho \(D\) để tìm \(x, y\).

### Bước 5: Tính vectơ

Tính các vectơ:
\[
\overline{AC} = C - A = (2\sqrt{5}, 2\sqrt{5}) - (0, 0) = (2\sqrt{5}, 2\sqrt{5})
\]

\[
\overline{DB} = B - D
\]

### Bước 6: Cốt góc giữa các vectơ

Sử dụng công thức cosine:

\[
\cos \theta = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{DB}}{||\overline{AC}|| \cdot ||\overline{DB}||}
\]

Trong đó:
- \( \overline{AC} \cdot \overline{DB} \) là tích vô hướng của hai vectơ
- \( ||\overline{AC}|| \) và \( ||\overline{DB}|| \) là độ dài của các vectơ

Sau khi tính toán bạn sẽ tìm được cốt góc, và từ đó chọn đáp án trong các lựa chọn.

### Kết quả

Sau khi hoàn tất tính toán cụ thể, bạn có thể so sánh với các lựa chọn A, B, C, D để tìm ra câu trả lời đúng nhất.