Tính toạ độ của các vecto sau. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC? Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

Để tính toạ độ của các điểm, chu vi và diện tích của tam giác ABC, ta có các điểm:

- A(-1; 3)
- B(0; 6)
- C(1; 4)

### a) Tính độ dài các cạnh AB, AC, BC

1. **Độ dài AB:**
\[
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]

2. **Độ dài AC:**
\[
AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{(2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]

3. **Độ dài BC:**
\[
BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
\]

### b) Tính chu vi \( P \) của tam giác ABC
\[
P = AB + AC + BC = \sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{5} = \sqrt{10} + 2\sqrt{5}
\]

### c) Tính diện tích \( S \) của tam giác ABC
Sử dụng công thức Heron:
- Bán kính \( s \) là:
\[
s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{5}}{2}
\]
- Diện tích:
\[
S = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)}
\]

### d) Tìm toạ độ trọng tâm \( G \) của tam giác ABC
\[
G(x_G, y_G) = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) = \left( \frac{-1 + 0 + 1}{3}, \frac{3 + 6 + 4}{3} \right) = \left( 0, \frac{13}{3} \right)
\]

### Kết luận
- Độ dài các cạnh: \( AB = \sqrt{10}, AC = \sqrt{5}, BC = \sqrt{5} \)
- Chu vi: \( P = \sqrt{10} + 2\sqrt{5} \)
- Diện tích: Cần tính cụ thể trong phần c nếu cần.
- Toạ độ trọng tâm \( G = \left( 0, \frac{13}{3} \right) \)