Cho tam giác ABC có AB=AC, M là trung điểm của BC. a) Chứng minh tam giác AMB=tam giác AMC

Để chứng minh các yêu cầu của bài toán về tam giác ABC vuông, ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tam giác AMB = tam giác AMC

Ta có tam giác ABC với AB = AC, tức là tam giác ABC là tam giác cân tại A. Theo giả thiết, M là trung điểm của đoạn BC.

**Để chứng minh AMB = AMC, ta sẽ sử dụng các yếu tố sau:**
- **AB = AC:** Đây là điều kiện từ giả thiết tam giác cân.
- **AM là cạnh chung của hai tam giác AMB và AMC.**
- **BM = MC:** Do M là trung điểm của BC.

Dựa vào các yếu tố trên, ta có:
1. AB = AC (giả thiết).
2. AM = AM (cạnh chung).
3. BM = MC (M là trung điểm).

Từ đó, ta có hai tam giác AMB và AMC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau, áp dụng tiêu chuẩn chứng minh tam giác bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh - C.C.C), suy ra:
\[ \triangle AMB \cong \triangle AMC \]

### b) Chứng minh AE = AF

Từ M kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC. Ta cần chứng minh AE = AF.

**Chứng minh:**
1. Ta có:
- Tam giác AMB và AMC đã chứng minh ở phần a.
- Gọi góc ∠AME = ∠AMF = 90 độ (giả thiết ME ⊥ AB và MF ⊥ AC).
2. Hai tam giác AME và AMF có:
- AM là cạnh chung.
- ∠AME = ∠AMF = 90°.
- AB = AC (do ABC là tam giác cân).

Suy ra từ tiêu chuẩn tam giác vuông (cạnh huyền) và cũng áp dụng tiêu chuẩn (cạnh-cạnh-cạnh - C.C.C), ta có:
\[ \triangle AME \cong \triangle AMF \]

Do đó, ta suy ra AE = AF.

### c) Chứng minh EF // BC

Để chứng minh rằng EF // BC, ta thực hiện như sau:

Từ chứng minh ở phần b), ta biết rằng:
- Tam giác AME và AMF đồng dạng.
- Các góc tương ứng của hai tam giác này cũng bằng nhau.

Do đó, ta có:
\[ \angle AEM = \angle AFM \]

Vì ME ⊥ AB và MF ⊥ AC, nên:
\[ \angle AEM + \angle EAM = 90° \]
\[ \angle AFM + \angle FAM = 90° \]

Như vậy, ta có:
\[ \angle AEM + \angle FAM = 90° \]
\[ \angle AFM + \angle EAM = 90° \]

Từ đây, ta thấy hai cặp góc dựng lên bởi các đường thẳng EM và FM đều cùng bằng nhau, chứng tỏ rằng EF song song với BC.

Do đó, ta có:
\[ EF \parallel BC \]

Vậy ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.