Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm N sao cho BN = 2/3 BC

Để giải bài toán này, chúng ta cần xem xét các bước một cách chi tiết:

### Bài 1:
Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm N sao cho \( BN = \frac{2}{3} BC \).

### a) Vẽ đường cao AH của tam giác ABN. Hỏi ngoài tam giác ABN, AH còn là đường cao của những tam giác nào?
- Đường cao AH của tam giác ABN hạ từ đỉnh A xuống cạnh BN.
- Ngoài tam giác ABN, đường cao AH còn là đường cao của tam giác ABC, vì AH cũng hạ từ điểm A xuống một cạnh (cạnh BC) trong tam giác ABC.

### b) Tính tỉ số
\[
\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}} \text{ và } \frac{S_{ANC}}{S_{ABC}}
\]
- Để tính tỉ số diện tích \( \frac{S_{ABN}}{S_{ABC}} \), ta biết rằng diện tích của một tam giác được tính theo công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{độ dài cạnh} \cdot \text{chiều cao}
\]
- Trong tam giác ABN, diện tích được tính là:
\[
S_{ABN} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]
- Trong tam giác ABC, diện tích được tính là:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH'
\]
Trong đó AH' là chiều cao từ A đến BC.

- Với vị trí của điểm N trên BC:
\[
\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}} = \frac{BN \cdot AH}{BC \cdot AH'} = \frac{BN}{BC}
\]
Với \( BN = \frac{2}{3} BC \), ta có:
\[
\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{2}{3} BC}{BC} = \frac{2}{3}
\]

- Tính \( \frac{S_{ANC}}{S_{ABC}} \):
Đến đây, chúng ta nhận thấy rằng \( S_{ANC} \) tạo thành phần còn lại của tam giác ABC khi đã có diện tích tam giác ABN. Do đó:
\[
S_{ABC} = S_{ABN} + S_{ANC} \implies S_{ANC} = S_{ABC} - S_{ABN}
\]

- Vì vậy:
\[
\frac{S_{ANC}}{S_{ABC}} = 1 - \frac{S_{ABN}}{S_{ABC}} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
\]

### c) Biết diện tích tam giác ABC là \( 300 \, cm^2 \). Hãy tính diện tích tam giác ABN.
- Từ phần b), chúng ta có:
\[
S_{ABN} = \frac{2}{3} S_{ABC}
\]

- Biết \( S_{ABC} = 300 \, cm^2 \), ta tính:
\[
S_{ABN} = \frac{2}{3} \times 300 = 200 \, cm^2
\]

Tóm lại:

- a) Đường cao AH là đường cao của tam giác ABN và tam giác ABC.
- b) Tỉ số \(\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{S_{ANC}}{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\).
- c) Diện tích tam giác ABN là \(200 \, cm^2\).