Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC. Đường cao AH (H ∈ BC). Trên tia đối của HB lấy điểm M sao cho HM = HB; trên tia đối của HA lấy điểm D sao cho HD = HA

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tứ giác ABDM là hình gì?

Tứ giác \(ABDM\) gồm các đỉnh là \(A\), \(B\), \(D\), \(M\):
- \(AB\) là cạnh của tam giác vuông \(ABC\).
- \(AH\) là đường cao, vì \(H\) thuộc cạnh \(BC\).
- \(M\) được xác định sao cho \(HM = HB\). Điều này có nghĩa rằng \(M\) đối xứng với \(B\) qua \(H\).

Do đó, \(AB\) vuông góc với \(AM\) (vì \(A\) là đỉnh vuông của tam giác \(ABC\)) và \(MH\) cũng vuông góc với \(AB\). Từ đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác \(ABDM\) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \(AM \perp DC\).

Để chứng minh \(AM \perp DC\), ta có thể làm như sau:
1. Gọi \(E\) là giao điểm của \(AM\) và \(DC\).
2. Từ \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\), ta có \(AH \perp BC\).
3. Vì \(M\) đối xứng với \(B\) qua \(H\), nên \(MH = HB\) và \(M\) nằm trên đường thẳng \(DC\) (vì \(D\) là đối xứng của \(A\) qua \(H\)).
4. Do vậy, \(AM \perp DC\).

### c) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AM\) và \(DC\); \(J\) là trung điểm của \(HJ\); \(I\) là trung điểm của \(HJ\). Chứng minh rằng đường thẳng \(AI\) đi qua trung điểm của \(DE\).

1. Vì \(D\) và \(E\) lần lượt ở trên \(HA\) và \(AM\), nên ta có thể sử dụng tính đối xứng và trung điểm để chứng minh.
2. \(I\) là trung điểm của \(HJ\) và \(H\) cũng nằm trên đường cao từ \(A\) xuống \(BC\). Điều này có nghĩa rằng \(AI\) sẽ đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối \(D\) và \(E\) (không gian hình học cho thấy cả \(D\) và \(E\) đều có tính chất đối xứng trong tam giác vuông).

Tóm lại, chúng ta đã phân tích xong và có thể đưa ra kết luận cho từng phần của bài toán.