Để tính diện tích lớn nhất \( S_{max} \) của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính \( R = 6 \) cm, với một cạnh nằm dọc theo đường kính của hình tròn, chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định hình dạng hình chữ nhật**: Giả sử hình chữ nhật có chiều dài là \( a \) nằm trên đường kính và chiều rộng là \( b \) theo chiều thẳng đứng.

2. **Mối liên hệ giữa các cạnh**: Vì hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn bán kính \( R \), hai đỉnh trên của hình chữ nhật sẽ nằm trên nửa đường tròn. Do đó, chiều rộng \( b \) và bán kính \( R \) có mối liên hệ:
\[
\frac{a}{2}^2 + b^2 = R^2
\]
Trong đó, \( R = 6 \) cm, ta có:
\[
\frac{a}{2}^2 + b^2 = 6^2
\]
\[
\frac{a^2}{4} + b^2 = 36 \implies a^2 + 4b^2 = 144 \tag{1}
\]

3. **Tính diện tích hình chữ nhật**: Diện tích \( S \) của hình chữ nhật được tính bằng:
\[
S = a \cdot b
\]

4. **Tìm giá trị tối đa của \( S \)**: Để tối ưu hóa, ta sẽ biểu diễn \( S \) theo một biến duy nhất. Từ (1), ta có thể biểu diễn \( b \) theo \( a \):
\[
b^2 = 36 - \frac{a^2}{4} \implies b = \sqrt{36 - \frac{a^2}{4}}
\]
Thay vào công thức diện tích:
\[
S = a \cdot \sqrt{36 - \frac{a^2}{4}}
\]

5. **Tìm cực trị**: Để tìm giá trị lớn nhất của \( S \), ta có thể tính đạo hàm và giải phương trình \( \frac{dS}{da} = 0 \). Tuy nhiên, thay vì tính toán phức tạp, ta có thể tìm giá trị tối ưu bằng lý thuyết hình học.

6. **Sử dụng bất đẳng thức AM-GM**: Theo bất đẳng thức AM-GM, để tối đa hóa \( S \), \( a \) và \( b \) cần bằng nhau. Từ đó ta có:
\[
a = b
\]
Thay vào (1):
\[
a^2 + 4a^2 = 144 \implies 5a^2 = 144 \implies a^2 = \frac{144}{5} \implies a = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5}
\]
Do đó,
\[
b = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5}
\]

7. **Tính diện tích lớn nhất**:
\[
S_{max} = a \cdot b = \left(\frac{12}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{144}{5} \, \text{cm}^2
\]

Vậy, diện tích lớn nhất \( S_{max} \) của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn là:
\[
S_{max} = \frac{144}{5} \approx 28.8 \, \text{cm}^2
\]