Nhà bạn Lan có một mảnh sân hình vuông có cạnh là 8m. Lan muốn lát gạch màu khác có dạng hình vuông MNPQ để trang trí lên mảnh sân hình vuông

Để giải bài toán này, chúng ta cần làm rõ từng phần yêu cầu.

**Phần a:**

Mảnh sân hình vuông có diện tích là \( 8m \times 8m = 64m^2 \). Chúng ta muốn tìm vị trí của các điểm \( M, N, P, Q \) trên các cạnh để hình vuông \( MNPQ \) có diện tích lớn nhất.

Gọi độ dài cạnh của hình vuông \( MNPQ \) là \( x \).

Với \( M \) thuộc cạnh AB, \( N \) thuộc cạnh BC, \( P \) thuộc cạnh CD, và \( Q \) thuộc cạnh DA, mảnh sân có thể được chia như sau:
- Gọi \( AM = a \), \( BM = 8 - a \)
- Gọi \( BN = b \), \( CN = 8 - b \)

Dễ dàng nhận thấy rằng: \( a + b + x = 8 \).

Từ đó, ta có công thức tính diện tích:
\[
S = x^2
\]
Trong đó \( x = 8 - a - b \). Ta cần tìm \( a \) và \( b \) tối ưu để \( x \) lớn nhất.

**Phần b:**

Cho hình hộp chữ nhật có chiều cao \( h = 8cm \) và diện tích đáy \( S_{đáy} = 192cm^2 \). Diện tích đáy sẽ được tính bằng \( a \times b = 192 \), trong đó \( a \) và \( b \) là các cạnh của đáy. Tính các kích thước của hình hộp sao cho có thể cho diện tích lớn nhất của tất cả các mặt.

Ta có công thức diện tích toàn phần:
\[
S_{T} = 2(ab + ah + bh) = 2(192 + 8a + 8b)
\]

Thay \( b = \frac{192}{a} \) vào để tìm \( S_T \) phụ thuộc vào \( a \).

**Phần c:**

Người ta dùng một cuộn lưới thép dài 16m quây xung quanh một khu đất hình chữ nhật. Để chọn kích thước của khu đất như thế nào để diện tích đạt được là lớn nhất?

Ta có:
- Biểu thức cho chu vi: \( 2(a + b) = 16 \) dẫn đến \( a + b = 8 \).
- Diện tích: \( S = a \times b \).

Bằng cách thay đổi biến, ta có thể thay \( b = 8 - a \):
\[
S = a(8 - a) = 8a - a^2
\]
Tối đa hóa bằng cách đạo hàm và giải.

Hy vọng điều này giúp bạn trong việc giải quyết bài toán!